基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案).docx

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1、根本不等式及其应用1.根本不等式假设a0,b0,那么告向，当且仅当时取“=.这一定理表达为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数.注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：各项或各因式均正；一正)(2)和或积为定值；二定)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值.(三相等)2 .常用不等式(1)a2+b22ab(a,R).(2)J2(,)2注：不等式a2+b22ab和幺它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数,2而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab0)3 .利用根本不等式求最大、最小值问题求最小值：a0,b0,当床为定值时,a+b,片+/有，即十人三，2+2e（2）求最大

2、值：6z0,b0,当+为定值时，有最大值，即；或+序为定值时，有最大值（。0,b0）9即.设mR,且+h=3,那么2。+2州勺最小值是（）A.6B.42C.22D.26解：因为2。0,2匕0,由根本不等式得2Sja2=2近百=4啦,当且仅当34 =1时取等号，应选B.假设0,b0,且。+2/?2=0,那么的最大值为（）A.B.1C.2D.4解：Vtz0,b09a+2b=2,+2=222,即当且仅当=1,时等号成立.应选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和伏4），其全程的平均时速为。，那么（）A.avyabB.v=ab1 a-ba-bC.ab0,O,m+n=1,加十公21所以加W=不当且仅当加

3、=3时取等号，.*.Iog2m1og2n=1og2m1og2=2,故填一2.类型一利用根本不等式求最值(1)求函数)=(-1)的值域.解：Vx-1,.x+109令根=X+1,那么加0,且y=根+5N2+5=9,当且仅当m=2时取等号，故ymin=9.又当加f+8或加一0时，)一+8,故原函数的值域是9,+o).(2)以下不等式一定成立的是()A.1g1gx(xO)B.sinx+N2(x防1,Z)C.x212x(xR)D.1(xR)解：A中，x2+x(x0),当X=T时，%2=x.B中,sinx+2(sinx(0,1);sinx2(sin%1,0).C中，X2-2x+1=(M-1)20(xR).

4、D中，1(XeR).故C一定成立，应选C点拨：/7Y，hxC这里是形如|X)=一工的最值问题，只要分母x+dO,都可以将五X)转化为IC1HX)=(x+J)+M+z(这里碇0；假设碇0,那么函数加)=-的最小值为.2-4/+1I解：Vr0,:的=-=t+-4-29当且仅当t=1时，r)m1n=-2,故填一2.(2)x0,y0,且2x+8y-y=0,求：(I)町的最小值；()x+y的最小值.解：(I)由2x+8y一盯=0,得+=1,又x0,y0,那么1=+N2=,得孙三64,当且仅当x=4y,即X=I6,y=4时等号成立.(H)解法一：由2x8y-xy=0,得X=,Vx0,y2,那么x+y=y+

5、=(y-2)+1018,当且仅当y2=,即y=6,X=I2时等号成立.解法二：由2x+8y孙=0,得+=1,那么x+y=(x+y)=10+N10+2=18,当且仅当y=6,X=I2时等号成立.类型二利用根本不等式求有关参数范围假设关于X的不等式(1+R)xW+4的解集是，那么对任意实常数左，总有()A.2M,0MB.2M,OWC.2M,0iMD.2iM,0M解法一：求出不等式的解集：(1+R)%w左4+40%或=(左2+1)+2n%4=22(当且仅当R=-1时取等号).解法二(代入法)：#x=2,X=O分别代入不等式中，判断关于左的不等式解集是否为R.应选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围

6、问题通常采用别离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立的不等式，一般的解题方法是先别离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：恒成立Oa(x)max；(2)0V(x)恒成立OaVy(X)min；(3)0x)有解O1(X)min；(4)0V(x)有解O(x)ma.逅函数O),那么方1,J1m一齐不力=-对任意t1成立.t1+丁1当且仅当t=2,即X=In2时等号成立.故实数m的取值范围是-8,I.类型三利用根本不等式解决实际问题围建一个面积为360n?的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出

7、口，如下图，旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为M单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为M单位：元).(1)将y表示为X的函数；(2)试确定居使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为am,那么y=45x+180(-2)+1802a=225x+360a-360.由Xa=360,得C1=,所以y=225x+平一360(x22).(2)Vx0,225x+22253602=10800,，y=225x+迦一36010440,X当且仅当225X=平，即X=24时等号成立.答：当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费

8、用是10440元.逅。如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为劭I,高度为历m排出的水中该杂质的质量分数与4,的乘积必成反比.现有制箱材料60H?,问4,各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(4B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：=,其中左是比例系数且左0.依题意要使y最小，只需乃最大.由题设得：4b+2ab+2a60(aQ,0),即a+2b30-ab(a0,b0V+222,22+1,.+=6z-1+12+1=2+1=3,当=2时等号成立.应选C.4 .设0,

9、R,ab9且+h=2,那么以下各式正确的选项是（）a2-b2a2-b2a2-b2a2+b2A.ab1-2Bab1_-Cab2W02+72（由于4手），所次+及以不能取等号）得，ab10,因此式x）=+（2-）N2=2,当且仅当=2一1时上式取等号.而此方程有解x=1（-8,2）,因此HX）在（-8,2）上的最小值为2,应选C6 .（）要制作一个容积为4加3,高为1加的无盖长方体容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是（）A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为xm,m,由条件知该容器的最低总造价为y=8020x+

10、160,当且仅当底面边长x=2时，总造价最低，且为160元.应选C7 .以下不等式中正确的选项是（）A.假设m6R,那么2非二|=2B.假设,y都是正数，那么IgX+IgyN2寸IgXIgyC.假设x09b0,所以+=1(00,b0)96z+=(+)=7+7+2=7+4,当且仅当=时取等号.应选D.9 .假设对任意x0,Wa恒成立，那么。的取值范围是.解：因为x0,所以x+N2(当且仅当x=1时取等号)，所以有=W=,即的最大值为，故填10 ()设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线rm-ym+3=0交于点P(%,),那么|必|尸司的最大值是.解：易知定点A(0,0),3(1,3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A,B重合与否，均有2+IPBI2=AB2=Io(P在以AB为直径的圆上).所以附.|必喝(幽2+1)=5当且仅当7=P8=小时，等号成立.故填5.11 (1)0VXV,求M43%)的最大值；(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2，十平的最小值.解：(1)0x,.03x0,b0,且2Q+b