基于新教材中椭圆各种定义的大单元设计.docx

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1、基于新教材中椭圆各种定义的大单元设计关于椭圆与双曲线的定义，在人教版新教材中均有涉及，而且不光是第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指出了这三个定义之间的关系.翻看近年全国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到这三个定义(解答题亦有考察)，本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定义，并通过例题分析其进一步的应用，同时再给出其他三个常见的定义.新教材中的圆锥曲线六大定义及应用关于椭圆与双曲线的定义，在人教版新教材中均有涉及，而且不光是第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指出了这三个定义之间的关系.翻看近年全

2、国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到这三个定义(解答题亦有考察)，本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定义，并通过例题分析其进一步的应用，同时再给出其他三个常见的定义一.基本原理(公众号：凌晨讲数学)定义11.椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集P=MMF1+MF2=2,于是，假设焦点大，工的坐标分别为(-c,O),(c,O),点P(x,y),那么：y(x+c)2+y2+(x-c)2+/=2将式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：a1-ex=ay(x-c)2+y2时式继续平方，再整理可得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(ai-)/2由定义可知：ac,令

3、=-c2,那么可得椭圆标准方程=+彳=Im/0).ab这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在X轴上椭圆标准方程.2 .椭圆的焦半径公式：在上述推导中，定位到式，a2-ex=a(x-c)2+y2ct-x=J(X-c.+/,a式右端表示椭圆上的点P到右焦点F2的距离，即IPF2=a-ex,e为离心率.同理可得：PF=a+ex(“左加右减”).定义23 .椭圆的第二定义:继续定位到式，C-CX=ay(x-c)2+y2=J(x-c)2+ya2X.a2式表明椭圆上的点尸到右焦点F2的距离与到直线X=y的距离之比是离心率e.利用第二定义，卜面推导椭圆的焦点弦相关结论.4.角度形式焦半径：上加下减.I。工

4、I=?=二叱匕嚷2。222证明：设椭圆/?:0+5=1（。力0）的准线X=幺与X轴交于。点，片,人为椭圆的aZrc左右焦点，过右焦点用的直线/与椭圆月交于P,0两点.设Nr巴尸=6,过尸,0两点向准线X=T引垂线，垂足记为反JF点.根据椭圆第二定义，股1=e,J=e.过R0两CPEQE上点再向X轴引垂线，垂足记为G,点.b2+ccos6显然IPE1=ICGHCF21-IF2G=CF2-PF2cos=-c-PF2cos,再代入h可,二：/整理化简I=11c-PF21cos进一步，设椭圆C的焦点厂在X轴上，过点尸且斜率为人的直线/交椭圆C于尸,0两点,若7=1(%0),则e=J1+F2舒,定义36

5、.椭圆第三定义：(公众号：凌晨讲数学)由式，=+=1=(x+)?-匕=_(，式表明椭圆上ababx+ax-ab的点P到左右两顶点的斜率之积为一个定值.实际匕若我们将匕述第三定义的推导过程进一步推广，假设48是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点尸(不与48重合)到48点的斜率之积为个定值.证明：设48的坐标分别为(Xojo)-P(,y),则由于三点均在椭圆上，故满足:X2y2_RF即学+咤工+心01g1Yababx-x0x+x0a定义4如图，圆(x+1)2+V=i6的圆心为八点H1,0),点。为圆上任意一点,求线段力。的垂直平分线/与线段CB的交点P的轨迹方程.解析：连接尸4

6、,如下图：由题意可知，B(-1,0),圆的半径=5C=4,且X(1O),由垂直平分线定理可知，PAPC,故PB+P=尸8|+|尸C1=I6C=445=2由椭圆定义可知，尸的轨迹为椭圆，设尸的轨迹方程为：W+W=1(bO),ab从而2=4,即=2,又因为4(1,0)、B(-1,0),所以c=1,又由/=d-C?可知，方=6,定义5已知两国G：（X-2）2+y2=i8CXx+2）2+=2,动圆M在圆G内部且和圆C1内切，和圆G外切.求动圆圆心M的轨迹方程C.解析：设圆M的半径的R,贝IJ1MCJ+1MC2=（30-R）+（0+H）=454=GG,所以M的轨迹是以的焦点的椭圆，则2=4,2c=4,所

7、以q=2,。=2,b=7二7=2,故动圆圆心M轨迹方程C为工+或=184定义6丹德林双球的定义如下图所示，在圆锥内放入两个球Q,O2,它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为OG,GG这两个球都与平面。相切，切点分别为，K，丹德林（G。加血）利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，石，工为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dande1in双球.如图，设直线G工分别与阿锥母线交于43两点，再设过点4台的母线分别与。G,oc2交于C,D两点，由切线长定理：AF=AC,4*2=4。，故彳K+4z2=C+4)=2o.同理，对于平面a与圆锥侧面的交线上任意一点尸，过尸的母线分别与。

8、6，OC2交于M,Q两点,则ai+a2=M0=2.即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.二.典例分析1.定义1及应用例1.已知F是椭圆C：1+2=1(0)的右焦点，/是。的上顶点，直线/：3x-4y=0ebO与C交于M,N两点.MF+NF=6f4到/的跖离不小于则C的离心率的取值范围是()Cddj解析：设椭圆的左焦点为耳，4是C的上顶点，连接g,N”,如下图所示：由椭圆的对称性可知，/,N关于原点对称，则OM=ON,又OR=OF,四边形MFg为平行四边形，.MF=g.又IMF1+1NF1=IN+F=2o=6,解得：=3力至U/的距离为：J=t,解得：b2,即JT=7二的二2,.0x0=3再代入椭圆

9、方程可解得M的坐标为9,、后）.例4.（2018全国三卷）已知斜率为左的直线/与椭圆C：=+=1交于N,B两点,线段4的中点为M（1，m）（m0）.（1）证明：k-i2设尸为C的右焦点，2为C上一点,且丽+成+丽=0.证明：网，附，附成等差数列，并求该数列的公差.解：设Z(XIJJ1(*2，必)，则室+庄=1,迂+i=1.4343两式相减，并由基二=上得三要+/匹.左=0.Xi-X243由题设知士+W=1,%+%=fn，于是左=一-二224m31由题设得OV加一，故Zv.22(2)由题意得尸(10),设尸(马,必)，则(七一1%)+(X-1M)+a1%)=(0,0)由(1)及题设得工3=3-(

10、再+工2)=1，歹3=一(必+%)=一2团v.又点在。上，所以w=q,从而尸(1,一|),I而=.于是160)的右焦点为a“b4F(4w,0)(w0),离心率为g,过焦点歹且倾斜角为。的直线/交椭圆C于M,N两点.(1)求椭圆的标准方程：(2)若夕=90时，+=,求实数加；MFNF9(3)试问一!一+一的值是否与8的大小无关，并证明你的结论.MFNF(1)因为C=4m,椭圆离心率e=e,所以i=5m力=3m所以椭圆。的标准方程a525w2(3)!十一的值与e的大小无关.证明如下：设点1,N到右准线的距离分别为4，4.MFNF因为一二45d2-9所以1=5z1MFNF4%=枭s-1）4cos+15ICOS（1一e）+所以_1+_1=2_1=U_.显然该值与e的大小无关.MFNFS9m9mb,、，一4八，、9加“nJ4八A9掰所以4(cose+1)=.屋，即4彳CoSe+1J=PE14同理=Xd29m例6.已知椭圆r的两个焦点为G(To),玛(1,0)，且经过点4后,(1)求椭圆C的方程;(2)过片的直线/与椭圆C交于两点(点力位于X轴上方)，若疝=2质，求直线/的斜率的值.2y2解：(1)+2-=1.43