基本不等式、不等式的综合应用.docx

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1、根本不等式、不等式的综合应用高考试题考点二利用根本丕笠式证明1. （2023年安徽卷,文15）假设a0,b0,a+b=2,那么以下不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）.abW1;G+FW0亳a2+b22;abA;工+，22.ab解析:令a=b=1,排除、；由2=a+b三2Jabab1,命题正确；a2+b2=（a+b）-2ab=4-2ab2,命题正确；2,命题正确.ababab答案:2. （2023年上海卷,文16）假设a、bR,且ab0,那么以下不等式中，恒成立的是（）（A）a2+b22ab（B）a+b2（C）1+1（d）2+2abJabab解析:对于选项A,a2+

2、b22ab,所以选项A错；对于选项B、C,虽然ab0,只能说明a、b同号,假设a、b都小于0时,选项B、C错；对选项D,ab0,2o,0,那么2+3三2.abab应选D.答案:D考点二利用根本丕等式求最值.或范围1（2023.年福建卷,文7）假设2x+2y=1,那么x+y的取值范围是（）(A)O,2(B)-2,0(C)-2,+)(d)(8,2解析：因为2x+2y222j=2F7,所以历W12所以2+w14所以x+y-2.应选D.答案:D2. (2023年浙江卷,文9)假设正数X,y满足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是()(A)y(B)y(C)5(D)6解析：因为x0,y0,x+3y=

3、5xy,所以3十二二1,5y5%所以工+上（3+4y）=上+至+巨三丫+20,a0)在x=3时取得最小值,那么a=.解析:因为x0,a0,所以f(x)=4x+-24=4,当且仅当4x=j即aXxz时取等号.由题意可得a=432=36.答案：365. (2023年天津卷,文14)设a+b=2,b0,那么二+4的最小值为.2ab解析：由a+b=2,b0.那么J_+也*+忖二2+2+忖2ab4同b4a4同b由a0,假设a0,+-2a=5.44ab44ab4当且仅当b=2a=g时，等号成立.假设a0,nO),mn那么由2a+2b+2c=2a+b+c得mn+x=mnx,.e.(mn-1)x=mn,mn-

4、1mn又1=IN2J-mnVmnJ-1,mn4A-5mn41-,mn4mn即2c-,c1og2-=2-1og23.33当且仅当m=n=2,即a=b=1时,C取得最大值为2-1og23.答案:2-1og237. (2023年浙江卷,文16)假设实数X,y满足x2+y2+xy=1,那么x+y的最大值是.解析：Vxy(x+y)；4=1=2+y2+xy=(x+y)2-y(+y)2-(+y)24=j(x+y)；(x+y)2,*x+y杵，当=y=/时,+y取得最大值乎.答案:王8. (2023年江苏卷,8)在平面直角坐标系xy中，过坐标原点的一条直线与函数f()=2的图象交于P,Q两点,那么线段PQ长的最

5、小值是.解析:如下图.P在函数图象上，设P(X-),又TQ与P关于原点对称，.Q-,-),PQ2=(x+x)2+(-+-)2=4x22f=16当且仅当4x2=,即x2=2时等号成立.%*IPQImin=4.答案：4考点三丕等式的综合应用1. (2023年山东卷,文12)设正实数X,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,那么当三取得盯最大值时,x+2y-z的最大值为()(A)0(B)2(C)2(D)284解析：由题得z+3xy=x2+4y24xy(x,y,z0),即zxy,当且仅当x=2y时等号成立，那么x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-

6、2(y-1)2-1=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z有最大值2.应选C.答案工2. (2023年新课标全国卷,文12)假设存在正数X使2x(-a)0及2x(-a)-令f(x)=-由于f在定义域内均为增函数,因此f(x)为增函数，从而x0时,f(x)f(O)=-I,因此满足条件的a的取值范围为a-1.应选D.答案:D3. (2023年重庆卷,文15)设OWaWj不等式8x2-(8sinQ)x+cos20对XR恒成立,那么Q的取值范围为.解析:因为不等式对一切实数恒成立，所以=64si2Q-32CoS2QWO,郎2sin2a-cos2Q,05由2sin2a=I-Cos2Q,得1_2c

7、os2Q0,所以cos2qN1又Q0,20,2所以2q0,-U-,2,2 3即QO,-U,.66答案：0,与U型3664. (2023年浙江卷,文16)设a,bR,假设XNo时恒有0x4-3+ax+b(x2-1)2,那么ab=.解析:不失一般性:当X=O时,可得OWbW1,当x=1时,可得a+b=0,所以a=-b,TWaWO,x0时恒有0x4-3+ax+bx4-2x2+1得ax+bx3-2x2+1a(x-1)(-1)(x2-1)当x1时,a1T恒成立,所以aW-1,又-IWaWO,所以a=T,b=1,ab=-1.答案-5. (2023年四川卷,文16)设a,b为正实数.现有以下命题:假设a2f

8、2=1,那么a-b1;假设一工二1,那么a-b1;ba假设I亚I=1,那么Ia-b1;假设Ia1b3|=1,那么|a-b|1其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解析:中,假设a,b都小于1,那么a-b1,由a2-b2=(a+b)(a-b)=1,所以a-b1,故正确.(D-=1,只需a-b=ab即可，baab取a=2,b=2满足上式但a-b=-1,故错；33中，IabI=I(&-扬)(&+扬)I=III4a-4b=1,故错；中，对于Ia3-b31=I(a-b)(a2+ab+b2)|=1,假设由b中至少有一个大于等于1,那么ab+b21,那么Ia-b1,假设a,b都小于1,那么Ia-b0,2，

9、f(x)在区间(11)内单调递增，2f(X)在(11)内存在唯一的零点.20b-c2,-2?+c0,画出可行域可知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因,而b+3c的最小值为-6,最大值为0.(3)当n=2时，f(x)=x2+bx+c,对任意X1,X2,1都有If(X1)-f(X2)4等价于f(X)在-1,1上的最大值与最小值之差M4与题设矛盾.假设TW-20,即(KbW2时,2M=f-f(-2)=(2+1)24恒成立.22假设0W-2W1,即-2WbWo时，2M=f(-1)-f(-2)=(2-1)20”是ux+12的()(A)充分但不必要条件(B)必要但不

10、充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件解析：当x0时,x+1三2JZI=2.因为X，同号,所以假设x+12,那么JrYXXXx0,-0.所以x0是x+-2成立的充要条件.选C.答案:C2.(2023安徽示范高中联考)假设a0,b.0,且a+b=2,那么以下不等式恒成立的是()(A)1(B)1+-2abab(C)F1(D)a2+b22解析：由2刊+13三2，拓得7忘1,11,所以选项人、C不恒成立，J_+1小=工2,选项B也不恒成立,4+b2=(a+b)2-2ab=4-2abN2恒成立.ababab应选D.答案:D考点二-利用根本丕等式求最值1. (2023郑州质检)假设abO,那么代数式a2+1的最小值为()bya-b)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:a2+-1-a2+-=a2+-4,b(a-b)p+-Y/b=a-b,当且仅当/=3，aabO,即a=0,b=无时,等号成立.2应选C.答案:C2. (2023武汉质检)双曲线1-二1(a0,b0)的离心率为2,那么IF的最小值为()(B中02(D)I解析:双曲线的离心率是2,故2守尸=M*解得2=6,a言匚、+13。2+11、2/3所以=a+丁NT一,3a3a3a3当且仅当a?=?时等号成立，故最小值是平应选A.答案