专题26 极值点偏移之其他型不等式的证明（解析版).docx

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1、专题26极值点偏移之其他型不等式的证明【例题选讲】例1已知函数(x)=1n-ax1(2d)x(aR).(1)求g(x)的单调区间；(2)若函数/(%)=氮x)+(4+I)X2-2x,xi，x2(OV%1Vx2)是函数/(%)的两个零点，证明：思维引导(2)利用分析法先等价转化所证不等式：要证明了能立|0,只需证明年区h1；二於。21五1(0x1Inx1-Inx2,即证明一-1n,再令土=(0,1),构造函数-i+2A+%/2=(1+1n-21+2,利用导数研究函数人单调性，确定其最值：Zz在(，1)上递增，所以7z(r)0,则g(x)在(0,+s)上单调递增;当0时，若x(,|,贝以30,若%

2、毛，+%)，则gx)网Iru2,即证明InX1十2Xr-j-+1令土=(0,1),贝JM%)=(1+%)1n-21+2,贝I/=1皿+；1,=；Jhf(I)=O9人在(0,1)上递增,z(r)Zz(I)=O.所以(*)成立，即(七三0.1502已知函数/(x)=2+qx+x,曲线y=(x)在点(1,/)处的切线方程为y=2x.(1)求实数m8的值；(2)设尸(X)=/(x)-%2+mx(机R),xi，兄2(OVX1X2)分别是函数尸(X)的两个零点，求证：F,(yxiX2)m+,WFi+1-4=皿3-占，(1+m)x2=Inx2x1-x2v)x1x2x1-x2JX1X2要证明只需证电X1X2，

3、X1X2思维引导1因为0玉=In五二叵+二0.令UAH。)，即一IX1X2x2Vx2kVNX221nr-r+0,h(t)=21nt-t+(0t1),贝J/)=一1,=h(1)=Of即证21n%+；0,由上述分析可知方.总结提升这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把拓马转化为1的函数，常把占,马的关系变形为齐次式，设=五/=1n/=%-%,-f等，构造函数来解决，可称之对称化构造函数法.X2X2思维引导2因为0玉，设Q(X)=In%-1口%-Xr(0%2),，中2x总结提升极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于国(或九2)的一元函数来处理.应用导数研究其

4、单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明.此乃主元法.思维引导3要证明/m)0,只需证h1Tn%0).若DX0,使得x)3q23。恒成立，求的取值范围.(2)设尸(%,%),Q(X2,%)为函数/(不)图象上不同的两点，尸。的中点为M(X(P求证：o)解析(I)F(X)31一3恒成立,即/(力3+30恒成立,令g(x)=/(x)-32+3a,g,(=2x+a-2-=-+,XX由于-0O,解得a.(2)因为M(X(PyO)为FQ的中点，则/=七土,x；%2+(2)(F2)HnHn-X+x2+-2故(X。)2x0+2=x1X2+-2,X1-X2X1-X2Hn五故要证/(%)一/(/)1(X0)

5、,即证0,即证不妨假设zO,X1-X2x1+X2,、2W-1只需证明In32(*一),即口生.再十%2k+1%设1=上1,构造函数Mo=Im“二(1)20,则z(1)=0,t+1r(r+1)2-11则有1naU/从而/()_/(/)i)+2)2.解析(1)由于外)=e%-%2-,则/a)=?%。,设g(x)=f(x)=e则/(x)=e-1,令/(x)=。%1=0,解得X=0.所以当(-8,0)时，gx)O所以g(x)min=g(0)=1-当。二1时，g(x)=(x)O,所以函数人)单调递增，没有极值点；当时，g(x)min=140,且当当X一一00时，g(x)+;当X一十8时，g()+.此时，

6、g(x)=f)=er-有两个零点Xi,X2,不妨设工X2,贝IJX1012,所以函数x)=e*-x2-4X有两个极值点时，实数。的取值范围是(1,+);答案速得函数x)有两个极值点实质上就是其导数/(x)有两个零点，亦即函数y=e%与直线y=x+a有两个交点，如图所示，显然实数。的取值范围是(1,+).(2)由(1)知,XI,X2为g(x)=O的两个实数根,X10X2,g(x)在(一00,0)上单调递减.下面先证X1-X2O,只需证g(-X2)0),贝J(1)=4一e+20,所以z(x)在(0,+上单调递减，所以z(x)Z(O)=O,/z(%2)=g(%2)0,所以X1-%22,只需证人-x2

7、)+(x2)2,即证W+ef2-20.设函数Z(X)=e+e-Y一2,x(0,+),则左(x)=ee一21.设r(x)=,(x)=exex2x,贝IJ/(%)=ex+ex20,所以r(x)在(O,+oo)上单调递增，r(x)r(O)=O,即0(X)0.所以左(X)在(O,+oo)上单调递增，MXAfc(O)=0.故当X(0,+oo)时，ex+exx220,则e%+eX2220,所以五一血)+力2)2,亦即汽用)+力2)2.总结提升本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的修一%20.1.解析(

8、1)x(O,+).尸。):2%_3_2)_g:2.(2)x一二(2%一)(尤+1).当0时,0,函数F(X)在(0,+8)上单调递增,即F(X)的单调递增区间为(O,+).当.时,由小)。得Q于由小)0.化为=、+2%,2x1+Inx1-x2-Inx2不妨设0/42则；InX=c,x1-(a-2x2-anx2-c,两式相减得x；-(。-2)玉-41n%-石+(。一2)%2+In%=。(j)=o,当(o,时，尸().故只要证明二9即可，即证明西+4心+2%、2，即证明h1生二生，22x1+Inx1-2-Inx2/X1+设r=(OfZ0,g)0.g在(0,1)上是增函数，又在”1处连续且g(1)=

9、0,当(0,1)时，g0,证明：当OVX时，f(+x)f(x);Cr-CC(3)若函数y=(x)的图象与轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为xo,证明：T(xo)VO.2.解析若困)，/在(0,+8)上单调增加;若。0,/(x)在(0,J)上单调递增，在(J,+)上单调递减；(2)法一：构造函数g(x)=d+x)(1-x),(0x/(一工),aaX2尤32则hd)=1n(1+ax)-1n(1-ax)-1ax,h,(a)=1Ix-r,+ax1-ax1-ax由0x!,解得0“,当0“0,而Zz(O)=O,aXX所以z(q)O,故当0xf(-x)C1C1C1(2)由(1)可得。0,r(x)=:2依+2。在(0,+上单调递减，f,()=0,不妨设A(X1,0),B(X2,0),OVX1VX2,则OVX1V5X2,欲证明r(x)；,即用:%2,2只需证明/(X2)=Z(X1)f(-X2).由(2)得f(-X2)=f+(X2)f-(-X2)=f(X2),得证.3 .设函数/(x)=e%一以+，其图象与轴交于A(Xi，O),B(X2,0)两点，且X1VX2(1)求。的取值范围；(2)证明：/N荔)0(f(x)为函数/