专题28 硬币问题（解析版）.docx

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1、专题28硬币问题例1一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.(1)设抛掷5次的得分为J,求J的分布列和数学期望(2)求恰好得到MN*)分的概率.【解析】1(1)所抛5次得分J的概率为尸C=i)=Q-5(-)5(i=596,7,8,9,10),其分布列如下(2)令匕表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到-1分以后再掷出一次反面.因为“不出现分”的概率是1-乙，“恰好得到n-1分”的概率是匕,因为“掷一次出现反面”的概率是:，所以有1-匕=!匕，即5WzT-|).f2121211于是匕一彳是以7=7；二二为首项，以大为公比的等比数列.I3J32362所以匕

2、_；=_(；广、即5=；2+(；力.JOZ5Z恰好得到分的概率是12+(-工厂.32例2.棋盘上标有第0、1、2、100站，棋子开始位于第。站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为匕.(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望；证明：+1-=-(-1)(198);(3)求用外几0的值.【解析】(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6.p(=3)=出31,p(=4出：|，13319所以，随机变量X的数学期望为X=3x+4x+5x+

3、6x=；88882(2)根据题意，棋子要到第(H+1)站，由两种情况，由第站跳1站得到，其概率为g匕，也可以由第(-1)站跳2站得到，其概率为:匕一1，所以，匕匕+；匕一等式两边同时减去?得心匕=；匕+匕t=，匕/J(198);1113(3)由(2)可得此=1,P=,P2=-1+-Pg=-.11由(2)可知，数列q+1月是首项为鸟q=a，公比为-5的等比数列，4=4+(-(1)31=j(2)依题意，JPI=机+Q=(c1+c:IT)设上HCtj+C固=(w_1):21m+k(左=2,3,m+1).1(m+1)!(-2)!2)乙胜，（2）依题意，当198时，棋子要到第（几+1）站，有两种情况：由

4、第站跳1站得到，其概率为工5；2可以由第（-1）站跳2站得到，其概率为g1所以，同时减去匕得心修=片+g匕T=（匕%J（198）;（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为与9=g68+（片7，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有耳）0=8所以Koo1）次就获胜，而乙要再赢几（常数根）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行J次抛币，游戏结束.（1）若m=2,n=3,求概率尸（J=4）；（2）若=n+2,求概率尸（J=加+左）（左=2,3,小+1）的最大值（用小表示）.【解析】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次/1/C-

5、TA所以/(左)的最大值为间=+1)=(C眠+C工).用，即尸(J=m+k)的最大值为(CM1+C累1)1j.例6.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当Z8时，产品为优等品；当6Z8时，产品为一等品；当2Z6时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；(2)现某人决定购买80件该产品.已知每件成

6、本IOOO元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望；(3)商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是4，方格图上标有第O格、第1格、第2格、2第50格.机器人开始在第O格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向

7、前移动一格（从左至Uk+1）,若掷出反面，机器人向前移动两格（从左到左+2）,直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第几格的概率为C（O几50,N*）,试证明尺匕_1（1几49/N*）是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.【解析】191_127+421（1）根据条形图可知，优等品的频率为=，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的5002概率为P=12（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为3，由题意X=（1600-1000）80-2504=47000,或故X的分布列为:470003900

8、0所以数学期望=47000X+39000-=41500.1616（3）机器人在第O格为必然事件，稣=1,第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率q=g.机器人移到第n（20,所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品.例7.时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下:第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式,若得到的正面朝上的枚数小于4,则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.(1)求王先生前三天骑