专题27 数列问题（解析版）.docx

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1、专题27数列问题例1.随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.(1)公司内部测试的活动方案设置了第z(iN+)次抽奖中奖的名额为五+2,抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.(2)由于该活动

2、方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有2。万用户，该公司设置了第小N+)次抽奖中奖的概率为尸，=9+：”,每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2N+)次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这为次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于2.2【解析】(1)甲在第一次中奖的概率为P1=尚=:乙在第二次中奖的概率为2=也X5=迈2151339设甲参加抽奖活动的次数为X,则X=1,23,尸(X=I)=；P(X=2)=-=；P(X=3)=-1=-,153151339151339X123P=12f3f=f(2)证明

3、：丙在第奇数次中奖的概率为工，在第偶数次中奖的概率为J_.54设丙参加抽奖活动的次数为Y,“丙中奖”为事件4则P(A)=I-口、()=I-R令mSn,mN*,则丙在第2m1次中奖的概率P（T=2徵-1）=归）jzxm-1zxm-1在第2m次中奖的概率尸(K=2m)=1IX(Xm即P(T=2m-1)=P(T=2m)t+(M+1+(4h1)45所以(7)=工/m-112zz+27Pj在丙中奖的条件下，在第2m-1,2m次中奖的概率为则丙参加活动次数的均值为设S=3+711+1+(4”1)则=3电+匕+(45)电+(4I)H，A-S=3+454512+27(3Yy22I1J例2.某几位大学生自主创业

4、创办了一个服务公司提供a、JB两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为2、购买JB的概率为上，而33前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为工、购买JB产品的概率为a,前一次购买JB产品的人44下一次来购买A产品的概率为工、购买JB产品的概率也是工，如此往复.记某人第次来购买A产品的概率22为尸.n（1）求匕，并证明数列，是等比数列；（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求石（X卜（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次该两款产品,那么公司每

5、天应至少准备A、JB产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.【解析】舄=21+1J=I234323依题意，知尸=尸.x5+（1匕）,则尸川=UH5J.W）当=1时，可得9=祗，数列尸2是首项为苴公比为J_的等比数列.V5j154（2）第二次买4产品的概率2=21+11=1;a34323第二次买B产品的概率月=1x1+x1=1834323第二次来的3人中有X个人购买A产品，X的所有可能取值为0、1、2、3X的分布列为0123故（X）=0+1+2f+3(3)由知:P=2匹J_yn5154当趋于无穷大时，Pn,即第次来购买A产品的概率约为故公司每天应至少准备A产品320份、JB产品480份.71

6、例3.从原点出发的某质点M,按向量=（OJ）移动的概率为:，按向量。=（0,2）移动的概率为（，设M可到达点（。,）的概率为4求P1和尸2的值；（2）求证：pn+2-pn+1=-pn+1-pn）；求匕的表达式.【解析】片=/2=：+:=”（2）证明：M到达点（。/+2）有两种情况：从点（0*+1）按向量=（0,1）移动,即（0,+1）（0,+2）从点（0,）按向量方=（0,2）移动,即(0,)(0,+2)数列Pn+1-Pn是以02-巴为首项，-g为公比的等比数列.又Pi=(P-(Pi-Pt)+(m)=T+T+=电1一例4.某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是,，棋盘上标有第0站

7、、第1站、第22站、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从左到上+1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从左到左+2),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为心.求尸oMq的值;(2)求证：PbPnT=TPP-),其中N,299；求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.【解析】解：棋子开始在第0站为必然事件，尸。=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为4.P1=-.22棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：前两次掷硬币都出现正面，其概率为，；第一次掷硬币出现反面，其概率为

8、1422424(2)证明：棋子跳到第(2。99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第-2站，又掷出反面，其概率为工Pt；2棋子先到第-1站，又掷出正面，其概率为工心十2M=2一2+2I-匕-匕=-g(2-匕一2)解：由(2)知当99时，数列优-P1是首项为尸尸O=T,公比为g的等比数列.p1-=-,p2-=p3-=-p-1=H)-以上各式相加，得生=U+11J，获胜的概率为A9=um,失败的概率与9=；2981一(一；=；1+(；例5有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都彗，棋盘上标有第。站、第1站、第2站、1、第100站。一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前

9、跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从左到上+1）；若掷出反面，祺子向前跳二站（从左到左+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第IOO站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第站的概率为P”.（1）求尸0、Pp尸2的值（2）写出P7，P，P的递推关系，其中N,且299；（3）求玩该游戏获胜的概率.【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，所以”=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为！，所以c=工.棋子跳到第2站有下列两种情况：情形一前二次掷硬币均出现正面，其概率为1；4情形二第一次掷硬币出现反面，其概率为2.2所以匕=1+4=二；2424（2）棋子跳到第（2n99）

10、站有下列两种情况：情形一棋子先跳到第2站，又掷出反面，其概率为工匕2；2n2情形二棋子先跳到第H-1站，又掷出正面，其概率为2月一.2所以片=:匕2+1匕从而匕-C1犯J）；（3）由（1）与（2）知，%=:/2+：么，则匕-*=-：（与尸7），即已zzzn-1rr所以数列优-匕/是首相为片-1=-1,公比为的等比数列，于是z99于是=9-5+3所以玩游戏获胜的概率为I+j.例6.A,B,C,D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中,则不同的传球方式有多少种？若有个人相互传球上次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？【解析】4人传球时，传球上次共有变种

11、传法。设第左次将球传给A的方法数共有以kN*)种传法，则不传给A的有於-以种，故%=0,且不传给A的下次均可传给A,即=3%一两边同除以卢得+qT,令“中,i=oa+i4=4)-则=TT当左=5时，5=6。.当人数为时，分别用-1/，n取代3,4时，可得殁=t+(琰.nn例7.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.设抛掷5次的得分为X,求X的分布列和数学期望占X；(2)求恰好得到以N*)分的概率.【解析】X的可能取值为5,6,7,8,9,10.设抛掷5次得分X的概率为P(X=i)=C15-5()5(i=5,6,7,8,9,10)其分布列如下表：5678910

12、（2）设匕表示恰好得到分的概率.不出现分的唯一情况是得到-1分以后再掷出一次反面.因为“不出现分的概率是1-匕，恰好得到1分的概率是尸，因为掷一次出现反面的概率是P-所以1-匕二尸即一代，=V所以;P“-是以4-2=J-2=-j为首项，以-1为公比的等比数列所以尸“=（P,（=：.（一#,即P.=,.（?+.答：恰好得到分的概率为1（-J）+2.323例8.质点在X轴上从原点。出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位,且移动一个单位的概率为:，移动2个单位的概率为；，设质点运动到点（20）的概率为Pno（国）求A和鸟；（回）用匕_1，匕_2表示匕，并证明匕-匕是等比数列；（国）求匕.I73*9

13、2）7【解析】（回）丹二,R-333（国）由题意可知，质点到达点（n,0）z可分两种情形,由点（n-1,0）右移1个单位或由点（-2,0）右移2个单位，故由条件可知：B=；B1+；匕（3）上式可变形为C-J,1J-4-；（匕-1-C-Jpu1是以为公比的等比数列。7）I其首项P2-P1=-二939（团）由（回）知PC-PJ（Jr（c2）93匕=亿-EJ（/：/=）+SPHA+(nZ).求S6=2的概率;(2)求S20且S6=2的概率.【解析】(I)S6=2,需6次中出现4次偶数点2次奇数点，设其概率为p1,则P1y出出孝=1.(2)S20,即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点.当前两次同时出

14、现偶数点时，S2=2.要使S6=2,需后四次中出现两次偶数点，两次奇数点，设其概率为P2,则P2=!X!XC：(!)2(!)2=2二金.22222632当前两次同时出现奇数点时，S2=-2.要使S6=2z需后四次全出现偶数点，设其概率为P3,则P3=彳X彳XC：(彳)4二-.22264317所以S20且S6=2的概率P=P2+03=326464例10.某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第。站，第工站，第2站第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2,棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束。设