专题25 极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明(原卷版).docx
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1、专题25极值点偏移之积(WM)型不等式的证明【例题选讲】例1已知x)=XhU:%z2-%,xR.(1)当相=2时,求函数x)的所有零点;(2)若“)有两个极值点X1,X2,且X1VX2,求证:X1X2e2(e为自然对数的底数).%0,解析(1)当相=一2时,7(x)=x1n+2-=(InJV0.设g(x)=1n%+-1,则g(x)=:+1O,于是g(x)在(0,+8)上为增函数.又g(1)=0,所以g(x)有唯一的零点X=1,从而函数兀0有唯一的零点X=1(2)欲证xiX2c2,只需证InXi+1nx2.由函数人)有两个极值点Xi,X2,可得函数/(x)有两个零点,又/(X)=In一如,fin
2、xim%=0,所以XI,X2是方程/(X)=O的两个不同实根.于是有ICCIrInX1+1n%2即根=FH1n%2-InXi即根:丁【UnX2一以2=0,+可得InXiIn%2m(%+x2),一可得In%2-1x=m(x2x),X2从而可得InX2-11X1X2XInX1+1n%2X1X2I+?In-VXiJ于是InXi+1nX2=一也1X1Xi由OVX1VX2,设/=也,则/1.因此Inx+1nx2=Qn/t1.为t1-1E1、十(%+1)1n%口-12(1I)要证InX1+1nx22,即证一二2(r1),即证当时,有In什.人21)G12+1)2(1I)(1ip令(O=1n则Mt)=7-W
3、=而百,所以z(。为(1,+oo)上的增函数.因此z(O1nI-2;+;)=。.于是当11时,有InA2;,.所以有InX1+In兄22成立,即X1X2e?.例2已知函数g(x)=1nx+bx.函数g(x)有两个不同的零点1,x2,求实数b的取值范围;(2)在(1)的条件下,求证:xxx2e2.解析(1)g(x)有两个不同的零点,A2,即1n+fex=0有两个不同的根,.=-皿一X设/(%)=-.,fx)=-,令/(%)。可得:1-1njv=jre.(x)在(O,e)单调递减,在(e,+)单调递增,且工+时,/(x)0,/(e)=-,OE山一,、片I,一加fInX+x=0/、(2)思路一:不妨
4、设入21,由已知可付:5,.1nx1x2=-b(x+x2.1n%2+x2=0即只需证明:万(X1+)2,在方程n+”!可得:b(x-)=In-.1nx2+bx2=01In三InZ:.b=二,.只需证明:工(m+2)2.X1-x2X1-X21n1+%n%即一工(占+%)242=1+2In三2连1.-.1IxJxU1)%令:垣,贝1卜1,所以只需证明不等式:(1+%)1n2(1)n(1+%)1n-2%+20,%设/z)=(1+)1n%-2/+2,A(I)=O,.)=1+1n-2=;+1n/1,(1)=0.z=:J=?。,.z在(1,+)单调递增.“=0.z在(1,+oo)单调递增,./.1)=0,
5、即不等式得证.-(x1+%)2即1nx1x22,/.xix2e/In122即证明:一?Ox2In-Inx2O2x1-(xf+e2)1nx2e2X1,因为g(x)=1nx+fcr有两不同零点七,%.2.,x2满足方程1n%+法=Ooz?=见土,由(1)可得:Ox1ex2.Jr考虑设/(x)=-叱,./&)=/(9),由可得:/(x)在(O,e)单调递减,在(e,+单调递增.X2(2、0x1qx2,.x1(0,e),(O,e).结合了(%)的单调性可知:只需证明/(xj/.x2IX2Je2e2./(A1)=Z(X2),所以只需证明:/(X2)/(-)/(X2)-/(-)O.一%X2V单调递减,.(
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