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1、专题23抛物线第一部分真题分类1. (2023.全国高考真题)抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为后,贝UP=()C.22D.4A.1B.2【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为9。其至IJ直线xy+1=。的距离:F0+1+T=0,解得:=2(=-6舍去).故选:B.2. (2023.北京高考真题)设抛物线的顶点为O,焦点为方,准线为/.尸是抛物线上异于。的一点,过尸作尸Q1Z于。,则线段尸。的垂直平分线().A.经过点。C.平行于直线。尸B.经过点尸D.垂直于直线。尸【答案】B【解析】如图所示:因为线段尸。的垂直平分线上的点到的距离相等,又点尸在抛物线上,根据定义可知,|p
2、。I=IP尸I,所以线段FQ的垂直平分线经过点尸.故选:B.3. (2019全国高考真题(文)若抛物线产=2川(QO)的焦点是椭圆J+皂=1的一个焦点,则P=3pPA.2B.3D.8C.4【答案】D【解析】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点g,0)是椭圆;=1的一个焦点,所以3=修,解得夕=8,故选D.4. (2023.北京高考真题)已知抛物线Uy?=,焦点为方,点/为抛物线C上的点,且FM=6,贝UM的横坐标是;作MN_1X轴于N,贝IJSbMN=.【答案】545【解析】因为抛物线的方程为V=4x,故=2且*1,0).因为IMF1=6,xm+-=6,解得XM=5,故=2行,所以S=(5-1
3、)25=45,故答案为:5,45.5. (2023全国高考真题(文)抛物线C的顶点为坐标原点。焦点在X轴上,直线/:=1交C于P,。两点,且。尸,OQ.已知点M(2,0),且CM与/相切.(1)求GM的方程;(2)设4,4,A是C上的三个点,直线44,AA3均与M相切.判断直线AA与M的位置关系,并说明理由.【答案】抛物线Uy?=,”方程为(x2)2+y2=i;(2)相切,理由见解析【解析】(1)依题意设抛物线Uy2=2pxS0),P(1,%),Q(1,-%),OPOQ,.OPOQ=1-y1=1-2p=0,.2p=1f所以抛物线。的方程为丁=,M(0,2),“与1=相切,所以半径为1,所以DM
4、的方程为(-2)2+=1;(2)设A(X1y1),4(%2,上),4(%)若44斜率不存在,则A&方程为=或=3,若44方程为x=i,根据对称性不妨设ACU),则过A与圆M相切的另一条直线方程为y=,此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在人,不合题意;若44方程为=3,根据对称性不妨设4(3,百),4(3,-6),则过AI与圆加相切的直线AA为y-i=f(%-3),v%-必_1_1.v-O乂AiA3,-/T-+y33+y33X3=o,4(0,0),此时直线AA,44关于X轴对称,所以直线4A与圆加相切;若直线44,44,A斜率均存在,7111则人=K1=K1=所以直线44方程为y-%),M十
5、%整理得A(%+%)y+%=o,同理直线AA的方程为-(%+为川+%为=,直线44的方程为%(%+为):+%=。,12+yIAA与圆M相切,k/、2=1+(+y2)整理得(-Dyf+2必+3-片=O,AA与圆M相切,同理(y;T)尺+2%为+3-J=O所以%,%为方程(犬T)/+2%y+3-=O的两根,_2%3射%+%=2%,%=,MT%TM到直线44的距离为:二y;+iiJ+,(、;一1+4弁y;+i所以直线4A与圆加相切;综上若直线A4,AA与圆加相切,则直线44与圆M相切.6. (2023.浙江高考真题)如图,已知尸是抛物线y2=2px(p0)的焦点,是抛物线的准线与X轴的交点,且IMF
6、I=2,(1)求抛物线的方程;(2)设过点尸的直线交抛物线与人B两点,斜率为2的直线/与直线朋A,MB,AB,X轴依次交于点P,Q,R,N,且IRNF=PNHQN求直线/在X轴上截距的范围.【答案】(I)y2=4x;(2)(-,-7-43-7+4A1)(1,+).解得几-74/或一7+4百zz1.故直线/在X轴上的截距的范围为-74、或一7+4百zz0),点A是椭圆G与抛物线g的交点,过点A的直线/交椭圆。于点S交抛物线G于(8不同于A).(I)若=4,求抛物线G的焦点坐标;(II)若存在不过原点的直线/使为线段AB的中点,求夕的最大值.【答案】(I)(,();(II)叵3240【解析】(I)
7、当=时,g的方程为/=:元,故抛物线g的焦点坐标为(4,。);16832(II)设4(%,),5(尤2,%),拉(尤0,%),I.x=y+m,由卜+2y(2+2y2+2my+m2-2=0,x=y+m、7-2m-m.Im/.y+%=,yn=y,=yn+m=,122+2202+22002+下2m24pm2m.由在抛物线上,所以二中二中二,又|y2px_2p(y+m)y2-2py-2pm=0,x=y+m.,.y1+J0=2p,/.x1+xq=Ay1+m+Ay0+m=2p1+2m,/.X=2p2+2mK.12+22,2.1FV-1OC由彳27nx+4px=2,:.即12+4内_2=0V=2pxn2+y
8、4p2+2=2p2+2m-1+222+所以,422+218),p2&,p嘤所以,夕的最大值为叵,此时A(40法2:设直线/:%=冲+%(机00),A(x0,y0).将直线/的方程代入椭圆G:3+V=I得:(机2+2)/+2机9+产一2=。,所以点的纵坐标为为m+2将直线I的方程代入抛物线C2:/=2px得:y2-2pmy-2pt=Q,所以为为=-2。,解得%=2p(J+2),因此=22(苏+2),mm2由2+y;=1解得二=4+2+ifm+-.160,2pm)mJ所以当机=时,夕取到最大值为.5408.(2019北京高考真题(理)已知抛物线CN=-2py经过点(2,-1).(I)求抛物线C的方
9、程及其准线方程;(II)设。为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点,N,直线y=T分别交直线OM,ON于点A和点A求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】(I)X2=_4y,=1;(II)见解析.【解析】(I)将点(2,-1)代入抛物线方程:22=2夕x(-1)可得:P=2,故抛物线方程为:x2=-4y,其准线方程为:y=1()很明显直线/的斜率存在,焦点坐标为(。,-1),设直线方程为了=h-1,与抛物线方程-=-4y联立可得:+4fcc-4=0.故:x1+x2=-4k,xix2=-4.设M仆卜,一三,贝必OM=一今,左ON=一5,(Z1、(4、直线ON的方
10、程为=-3%,与y=T联立可得:A-,-1,同理可得B,-1,4U)E)(22、22易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:一+一,-1,圆的半径为:,IX1X2JX1X2且:2+2二虫3=2左,上一2二2广匚5二2后71,X1x2x1x212x1则圆的方程为:(2左F+(y+if=4(r+1),令X=O整理可得:y2+2y-3=0f解得:y1=-3,J2=1,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,-3),(0,1).第二部分模拟训练1.已知抛物线2=4y的焦点为方,过方的直线/与抛物线相交于A,6两点,po,-PBAB,贝U1AF1=()B.2D.33A.一2【答案】D【解析】由题意可知,F
11、(O9I),设AX1,/,Bx2,BF=zT24一(X27则尸B=x29+-I42)因为?且A,B,b三点共线,则由ABjR8=0可得B齐jR6=0,所以_/2+g14j=,即4+26x22-56=0,解得J=2或92=28(舍),所以z=J5设直线AB的方程为y=Ax+1,与抛物线方程联立,y=kx+1r-2,消去得X2-4AX-4=0,则XIX2=-4,所以1=2.X=4y贝”=2.所以IW=X+f=2+1=3.故选:D.2.已知抛物线c:2=o的焦点为尸,若点在抛物线。上,且M典=g,则点到y轴的距离为()A.2B,25C.4D.210【答案】A【解析】根据抛物线的定义,得至UMT=XM
12、+5=%+g=g,解得%=2,即点到y轴的距离为2.故选:A.3.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为产,准线为/,过点尸的直线交抛物线于A、5两点,过点A作准线/的垂线,垂足为,当A点的坐标为卜6,%)时,_4所为正三角形,则此时Q45的面积为()A.43B.33C.53D.63【答案】A【解析】由抛物线定义得:IAE1=IA典=30+g,由AAE5为正三角形知,直线AB的倾斜角为60。,I石M二2夕,故3省+=2p,p=23,直线A5的方程为y=g),a(33,6)抛物线方程为:=43x,y=3(x-3)联立彳1得:3x2-103+9=0,j2=43x(也)所以点5的坐标为,-?,13所
13、以SAQAB=-36+2=43.故选:A.3.已知以圆C:(x1)2+/=4的圆心为焦点的抛物线G与圆在第一象限交于A点,6点是抛物线C2:=8y上任意一点,JBM与直线y=-2垂直,垂足为“,则IBMIIAB的最大值为()A.1B.2C.-1D.8【答案】A【解析】因为C:(x-1f+y2=4的圆心(1,0)所以以(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4,y1=4x由/、29,解得A(12),(x-1)+/=4、7抛物线G:/=8y的焦点为尸(0,2),准线方程为y=-2,如图,即有忸MTAB1=忸用Tabaf=i,当且仅当A反尸(A在民尸之间)三点共线,可得最大值1,故选:A4.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为尸,O为坐标原点,AB为抛物线。上两点,IAo1=IA分AF+F则AB的斜率不可能是()4A.B.-22C.22D.叵32【答案】D【解析】因为尸为抛物线UV=2px(p0)的焦点,所以尸g),又IAoI=IA可,即A为等腰三角形,所以又点A在抛物线V=2外上,所以);=2。义/=弓,则以所以由抛物线的焦半径公式可得:I”I=XA+5=:P,又w+m=半,所以Im=学,即小=子,所以演=p,则为2=2/,即%=何,所