专题24 极值点偏移之和(x1+x2)型不等式的证明(原卷版).docx
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1、专题24极值点偏移之和(Xi+。)型不等式的证明【例题选讲】X例1(2013湖南)已知函数/(X)=市孑求/(x)的单调区间;(2)证明:当/(x1)=(x2)(x1x2)时,x+%20.解析(1)函数/()的定义域为(一8,+).1x1%x1-2x-11%x(-1)2+2/(x)=(市)i+R=(1+/)2/当xO;当xO时,ff(x)O.所以/(X)的单调递增区间为(一8,0),单调递减区间为(O,+).11+x(2)法一:令函数方(X)=/(x)-(一),x(0,+),代入化简得尸(X)=I不9(1一%)。一厂.1-1-X再次局部构造辅助函数,令G(X)=(I一入贮一一,求导得Gx)=-
2、eF(e2%-1).当x(0,+00)时,Ga)0,即G(X)是(0,+oo)上的单调减函数.于是G(x)G(0)=0,则尸(x)0.即产(x)=/(x)/(x)0.所以x(0,+s)时,式x)勺(一x).由X2(0,+),则“V2)勺(一工2)又兀H)=/(X2),即得五用)勺(一工2).根据(1)知“X)是(一8,0)上的单调增函数,而X(-,0),2(-,0),所以XX2,故%1+X2O得证.法二:不妨设X1VX2,要证明X1+%20,即X1VX2V0,只需证明了(X1)V/(一兄2),因为/(用)=/(%2),即/(%2)/(%2).而/(%2)/(一42)等价于(1%2)/巧一1X2
3、0),则g,(x)=(1-2x)e2x-1,令/z(x)=(12x)/x1,贝J(%)=4xvo,所以z()单调递减,z(x)z(O)=O,即g%x)O,所以g(x)单调递减,所以g(x)Vg(O)=O,得证.1X1-1-%法三:先证明:x(,+),f(x)f(-x),即证+工2。V+x2r,1IV此不等式等价于(1X)e丁0.1X令g(x)=(1-)ex-r,则gf(x)=xe-(e2x-1).1X当x(0,+),g(x)O,g()单调递减,从而g(x)Vg(O)=0,即(1一1)/一得TV0.所以(0,+),/(%)/(%)而X2(0,+),所以/(%2)V/(不2),从而/(X1)V/(
4、%2).9由于不,-2(-,0),/(X)在(一00,0)上单调递增,所以X1V一12,即X1+X2O例2(2016全国I)已知函数式X)=(X2)e%+(x1)2有两个零点.求。的取值范围;(2)设XI,%2是大工)的两个零点,求证:X1+x20时,/(x)在(一8,1)上单调递减,在(1,+oo)上单调递增.因为犬1)=e,12)=4,取。满足。0且。翔-2)+。(。-1F=ab2-0,故段)存在两个零点.当0时,由/(x)=0,得X=I或X=In(2).若定一宗贝IJ1n(2o)S1,段)在(1,+oo)上单调递增.当烂1时,危)0,所以危)不存在两个零点.若1,所以外)在(1,In(2
5、)上单调递减,在(In(2。),+oo)上单调递增.当烂1时,0,所以危)不存在两个零点.综上,。的取值范围为(0,+).(2)分析法不妨设X1X2,由(1)知X1(8,1),X2(1j+),2%2(-,1),府)在(一00,1)上单调递减,所以Xi+%22等价于1)次2%2),即人2一%2)1时,gx)1时,g(x)0,从而乳由)=。2x2)O,故xi+x22.综合法设9(X)=/(2x)一危),xe%.求导得广(X)=(I-)(e%-er+2).即时,F(x)尸(I)=0,贝1人2一x)/(x)0,即式2x)次x).由题用,X2是犬工)的两个零点,并且在X=I的两侧,所以不妨设X112)勺
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