专题21 双变量不含参不等式证明方法之换元法（解析版).docx

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1、专题21双变量不含参不等式证明方法之换元法【方法总结】双变量不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数.整体换元法：若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量转化为一个变量.若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体(比如上,x1x2,1-x2,F+%)等策略将两个变量划归为一个变量整体换元，化为一元不等式.%例1已知函数式X)=Qx2+x1nx(R)的图象在点(1,11)处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数。的值；m(2)求证：当nm0时，1nn1nm-.、nm解析(1)因为r)=4x

2、2+jdnx,所以/(x)=2Qx+1nx+1,因为切线与直线x+3y=O垂直，所以切线的斜率为3,所以/(1)=3,即2+1=3,故=1.(2)要证n-m-,即证In-,只需证In+-0.nmmnmmnm令弓=%,构造函数g()=1n-2+(1),则g()=!+3+1.Ii1vvv因为x1,+),所以/(x)=J+2+1O,故g(x)在(1,+oo)上单调递增.由已知相0,得1,所以g偿)g(D=O,即证得1/：+弓0成立，所以命题得证.mr1ymnm总结提升对“待证不等式”等价变形为力点一T+0后，观察可知，对S”进行换元，变为力n%:f1r1Ii1f1V+x0,构造函数“g(x)=1nx

3、：+MX1)”来证明不等式，可简化证明过程中的运算.2(X1)例2已知函数f(x)=InX.+,g(x)=X1nX-m(x21)(mR).(1)若函数1x),g(x)在区间(0,1)上均单调且单调性相反，求实数机的取值范围；tt.、一rrI-aba-b(2)0a0,所以9(x)在(0,1)上单调递增，9(x)V9(1)=1,所以2根1,即相(2)由(Iy(X)=InX一誓P在(O,1)上单调递增，T(X)=Inx七PVya)=0,即1nx等IAJiI1I1令x=f(O,1)得1琮V2(一。)abaV1ng(I)=0,所以x1n%(x21)0,即1nx(-取x=1i*0,D得In-馅,即InaT

4、n6彩,1Ia-b,、tIaba-b由Ina-InZ?VO得：yab:,综上：yab-.YInaInbVInInb2总结提升两个正数和人的对数平均定义：1(。，份=1n一1nz/)aa=b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：Q1(4,b)(此式记为对数平均不等式)2取等条件：当且仅当=Z?时，等号成立.例3已知/(x)=Inx,gM=f(x)+ax2+bx,其中g(x)图像在(1,g)处的切线平行于X轴.(1)确定与的关系；(2)设斜率为左的直线与/(x)的图像交于A(,%),B(x2,j2)(x1x2),求证：-k-.X2X1思维引导(2)左=上&=2二皿，所证不等式为1TnX1二,

5、即二五=-(Ia+1).依题意得左=上星=处士叵，故所证不等式等价于：X2-X1X2-xIJ_In/TnXJ_七1上-芯0_五出上上_-JC1JC1x2xX1x2xx令/=土,1),则只需证：1-11n/%-1.x1t7,/、11th(t)=-1=,tt先证右边不等式：1n%vz-IoInZ-%+1vO,:.h(t)在(1,+co)单调递减，/.h(t)z(1)=O.即1n/-/+IvO,对于左边不等式：1-1n1n+-1O.p(t)=nt+-1,则夕,.夕在(1,+8)单调递增，.pQ)夕=0.tttt总结提升(1)在证明不等式山TnX1时,由于药，赴独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，

6、所以考虑构造表达式/(%,/)：使得不等式以/(石，/)为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式.(2)所证不等式为轮换对称式时，若不独立取值，可对,定序，从而增加一个可操作的条件.例4已知函数/(x)=x1n%.(1)求/(x)的单调区间和极值；(2)设A&,/&),b(x2,/(x2),且石%,证明：/但)Ta)二“2-InX1mt三+1,轮换对称式可设不0,解得：x-.e/(x)的单调增区间是(1+8),单调减区间是(0,1),ee.(x)的极小值为/(-)=-1n-=-,无极大值.eeee不妨设心尸(土土工)。则三二山土山土土三十1.2-X2In9一看InX1V/Ina+2%

7、，(由于定序XI，去分母避免了分类讨论)x21nx11n+x2-x1,(观察两边同时除以西,即可构造出关于三的不等式)x1+x2x+JC2X12.上两边同除以X得，XIn+菁I11+三%x1x1令三=才，贝酎1,即证：1n-0),1+t2t(1+022(1+01+t1+tt+t+1z(m)=1n(1+m)-m,(再次利用整体换元)h(m)=1=0,z(m)在(0,+8)上单调递减，所以MM)CMO)=O.1+m1+m即In(I+m)加，即g,(t)=1n(1+-一0恒成立,t+1t+1.g在(1,+8)上是减函数，所以g()g=0.丹11二111/-+，1得证,所以左n0,求证：Inm1nm_

8、n-1.胡士匚z1x,z、1(x+1)-a(x-D(X+1)22Xx2+(2-2)x+1解析/(X)=一GT万一=gi)2=)2(X+1)2因为人元)在(0,+8)上单调递增，所以力)No在(0,+oo)上恒成立,即2+(22o)x+10在(0,+s)上恒成立，所以2-在(0,+)上恒成立.因为x+:2,当且仅当11时，等号成立，所以2一2。解得心2.(2)要证InmIn只需证1n(mT2U-1,即证1n%nm,、2t1Jn0.-+n2(X1)设/z(x)=1nx+,由(1)可知z(x)在(0,+oo)上单调递增,2.因为,1,所以Mm/=0,X已知函数(x)=k+1nx在(1,2m即In-n

9、I-0,所以原不等式成立.?+1+oo)上是增函数，且0求。的取值范围;若六试证明O,所以如一1O,即不7所以*1,即。1,故的取值范围为口，+).a|b1jc(2)因为。O,a1,所以一厂1,又兀+Inx在(1,+oo)上是增函数，/+协Erba+b_1a+b所以一H次D,即Fr+inr，化间骨=1口丁，a-ba4INka-ba(daIn丁豆等价于1丁一=In庐。，1X令g(x)=1n(1+x)-%(x(0,+),则)=2j-1=j0,所以函数g(x)在(0,+oo)上为减函数,AIvJ1Iv匕r2a.C1-ba/八、八tftt1a+ba11a+ba所以gR=11+/g=In一7g(0)=0,即1n-rg综上，而0).设5(X)=SI)X2+/(),讨论函数方(X)的单调性；(2)过两点A(X1，/(x),B(X2,7(%2)(为X2)的直线的斜率为左，求证：k0,函数万(%)在(0,+s)上是增函数;当1no0,即040,得(Ina)X2+10,解得4一记芝；令尸(无)。，得(Ina)X2+10,要证一左一,即证1n-1，则只要证1一卜Int。(介1),故g(。在(1,+上是增函数.所以当介1时,g(t)=t11n