专题25 极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明（解析版).docx

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1、介Inx+1nx2即rn=修+&.InX2In制即m=.X2-X1从而可得InX2-InXiX2X1Inx1+1nx2X1+X21+-In-VX于是InXi+1n%2=XiX1专题25极值点偏移之积(X1X2)型不等式的证明【例题选讲】例1已知t(x)=Jd11X-n2一,R.(1)当机=2时，求函数上)的所有零点；(2)若x)有两个极值点x,%2,且X1VX2,求证：X1X2e2(e为自然对数的底数).解析(1)当初=-2时，/(x)=x1n%+x2-x=x(1n%+-1),x0.设g(x)=1n%+-1,x0,则F(x)=+1O,于是g(x)在(0,+s)上为增函数.又g(1)=0,所以g

2、(x)有唯一的零点X=1,从而函数本)有唯一的零点X=1(2)欲证%X2e2,只需证InX1+1n%22.由函数兀I)有两个极值点修，X2,可得函数/(%)有两个零点，又/(x)=1nx九V,所以沏，X2是方程/(X)=O的两个不同实根.于是有CCUnX2一必2=0,+可得In1+InX2=m(x-xi),一可得In%2-InX1=m(X2一兄1),1、r%2,(1+)1nt由修厂R、T1tf1y(%+1)1n%3、/t2(11)要证InX1+1n%22,即证一2(r1),即证当1时，有In%.十.人21)小12(+1)-2(r-1)(11)2()彳I1()()+1)2=Q+)2,所以力(。为

3、(1,+)上的增函数.因此zQ)1nI；+D=O于是当彳1时，有In所以有InX1+In检2成立，即即%2。2.例2已知函数g(%)=1n%+fcr.(1)函数g(x)有两个不同的零点不x2,求实数的取值范围；(2)在(1)的条件下，求证：x1x2e2.解析(1)g(x)有两个不同的零点芯,，即1x+b;V=O有两个不同的根，/.=-业K.一X设/(N)=-电二,.,r(x)=坐令/(%)。可得：1-1jv=jre%X.(x)在(O,e)单调递减，在(e,+)单调递增，且x+时，/(x)0,/(e)=-,O(2)思路一：不妨设2,由已知可得：In+?/.i2=-(%1+x2).IInJCr十D

4、XDU即只需证明：一万(+%2)2,在方程Pn可得：(x1-x2)=In-.I12+。CIn三In三:.b=二，.只需证明：(x1+x2)2.X1-x2x1-X2In三f1+n(、(、即一+%)2o*2=11+三口三2(三1.-.1I)1)%令;三，则/1,所以只需证明不等式：(1+%)1m2(1)n(1+%)1n-2%+20，xI设M0=(1+)1n%-2/+2,A(I)=O,./)=号+In%2=；+1n.1,(1)=0.(力)=；_=?0,.z(。在(1,+)单调递增.“(%)”(1)=0.在(1,+)单调递增，.M%)M)=o,即不等式得证.b(X1+%)2即Inx1x22,/.x1x

5、2e2.p2思路二：所证不等式X1X2。2oX1,因为g(x)=1nx+x有两不同零点%，入2*2.x1,X2满足方程1n%+Zzx=0oZ?=电二,由(1)可得：0x1eX2.一%-考虑设/(=-*,./(%)=/(/)，由可得：/(X)在(O,e)单调递减，在(e,+8)单调递增.%2e10X1e%2,AX1(0,e),(0,e).结合/(x)的单调性可知：只需证明/(再)/一X2X2J22X2f(X1)=f(X2),所以只需证明：/(X2)/(_)/(X2)-/(-)0.X2In-122即证明：-021n-Inx202%2一(；+e2)1nx20.ex2x2X2)设z(x)=22一(2+

6、e)1nx,x(e,+),则Me)=0.(X)=4x-(x2+e2)-2x1n%=3x-2x1nx,则(e)=0.A2A2.(x)=3+-2(1+1nx)=1+-21nx,则V(e)=0.h(x)单调递减，.,.z(x)”(e)=O,.,.”(x)单调递减，.zr(x)“(e)=0.7z(x)单调递减，.7z(x)7z(e)=O,KP2xf-(x2+e2)1nx20得证.仆2、e2/(%)OXrX2。2.例3已知函数x)=InX-qx(qR).(1)求函数人工)的单调区间；(2)当Q=I时，方程危)=相切V2)有两个相异实根X1，X2，且X1VX2，求证：xvxi0).当。或时，由元0,得1以

7、0,即/(x)0,所以为0在(0,+8)上单调递增.当0时，由了(x)0,得OVXV由了(x)VO,得入*所以x)在(0,J上单调递增，在9，+s)上单调递减.综上，当时，五元)在(O,+s)上单调递增；当。0时，加0在(0,O上单调递增，在9，+)上单调递减.(2)由题意及(1)可知，方程x)=M(M2)的两个相异实根Xi,&满足1n-m=O,且OVX1V1VX2,即Inx-m=nx2X2-m=0.由题意，可知InX1XI=根V2VIn22,又由(1)可知，)=1n-在(1,+)上单调递减，故检2.令g(x)=1nx%一根，则g(x)-g()=x+31n-In2.令力=%+，+31n%1n2

8、2),则/=一红二犁土刃.当2时，/VO,何)单调递减，所以何)V/z(2)=21n2V0,所以g)2且g(x)=g(x2),所以Ate)=g(x2)-=g(%)-g(O,即g(xi)g&).因为g(x)在(0,1)上单调递增，所以X1VW，故X1a32”是解题的一个关键点，确定其范围之后才能2将Xi与3化归到函数的同一个单调区间上，这也是此类问题的一个难点精确定位.U1J4已知函数/(x)=I1U:-qx+/?(，bR)有两个不同的零点尤1,X2.求/(x)的最值；(2)证明：x1x20,进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值.(2)由题意转化为证明1口2(*一/)二2+迨,不妨设占%，令

9、土=%(0,1),只需证明X2X1X2x2X1X21n。，此时/(x)0,解得x1(x)在(0,n上单增，+3上单减，aa)a),/(x)ma=d)=Tn。-1+b,无最小值aIn%(2)由题知;InX+8=0两式相减得In五_(玉_/)=0，即二,Inx2-ax2+b=Ox2xi-X2故要证1，即证可%(再Y，即证帝宜二成=2+三，a口2A入2xix2玉不妨设再冗2，令五=Ze(0,1),则只需证%-2+；,设g)=h；+2,11121nr-t+-1(t-2则g(%)=21n%IH=-设z(%)=21n%H,则1。)二O,ttttt/z在(0,1)上单减，Zzz(1)=O,g在(0,1)上单

10、增，gg(1)=O,即-2+1在(0,1)时恒成立，原不等式得证.t总结提升体会在用X1,马表示时为什么要用两个方程，而不是只用21nX-x；-QX1=O来表示?V如果只用玉或进行表示，则InXI很难处理，用玉，两个变量表示-在代入的时候有In二项，即可以考虑利用换元法代替三，这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特点.【对点训练】1.已知函数危)=x1nx的图象与直线y=相交于不同的两点Aa1，j),B(X2,y2)求证：X1X20得x*,由了(x)0得Oxg函数加O在(,3上单调递减，在&+)上单调递增.可设0用：42.方法一构造函数5(X)=%)gj，则Fa)=XX)+KJ=1+i

11、n+(1+1n)=(1+1n戏(1一第，当0x时，1+1nxO,1W0,得尸(x)在(。，。上是增函数，二5(x)|=0,VAX)勺(X：，且“X)在g+)上单调递增，X2/，.,.X1X21,则检=比,代入上式得Xi1nXi=ZXi(InInx),得In制=1口11t.,.xX221Xi+In处-221nx1nt2=；1个+Int21n.2(，-1)1(tI)2g(0=1t-t+1),则g)=p+)20.当1时，g(。为增函数，g()g(1)=O,.1nD0.故XIX21.Z-I-1C2.已知函数/(x)=InX-OX.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若函数fx有两个零点x1,x2x1e2.2.解析/的定义域为(O,+oo),x)=-6z,(1)当&0时仆)0,./(二)在(0,+oo)上单调递增;(ii)当i0时，若x(0,工)，则(x)0,/(x)在(O,1)上单调递增；aa若X(1+),则/(X)0时，/(x)在(0,工)上单调递增，在1+)上单调递减；aa(2)由(1)知，O时，/(x)单调递增，/(x)至多一个零点，不合题意,当0时，(%)在(0,工)上单调递增，在区间1+)上单调递减；aa/(犬)=d)=历，T，若函数/(x)有两个零点七，x2(x1x2),aa由于XfO时，yYo,X-+时，yYO,所以/()=I