专题19 概率最值问题（解析版）.docx

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1、专题19概率最值问题例1.某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂.检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂.若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为且相互独立.若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为/(p),求/(p)的最大值

2、点PO；若以中的PO作为夕的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润X(单位：元)的期望.【解析】(1)设该盒芯片经一次检验即可出厂的事件为八则尸(A)=才会答：该盒芯片可出厂的概率为21.55(2)某箱12片芯片中恰有3片次品的概率当且仅当=1p，即时取J号故7(p)的最大值点由题设知，P=Po=；设这箱芯片不合格品个数为则B12,故()=12义；=3贝IJE1(X)=I2012303x2=72,这箱芯片最终利润X的期望是72元.例2.绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应

3、树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照

4、片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立.(1)若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？(2)要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【解析】解：(1)当收费为20元时，照片被带走的可能性为，不被带走的概率为，设每个游客的利润为匕元，则匕是随机变量，其分布列为：15E(K1)=150.3-50.7=1(元)，则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05x10=0.8,不被带走的概率为,设每个游客的利润为匕，则匕是随机变量，其分布列为：5E(T2)=50.8-50.2=3(元)，贝IJ5000个游客的平

5、均利润为5000x3=150(元)，该项目每天的平均利润比调整前多10000元.(2)设降价X元，贝JO,x15,照片被带走的可能性为0.3+0.05x,不被带走的可能性为0.7-0.05光，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：(2)当=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.【解析】解：(1)对于一个坑而言，要补种的概率为(；)3+C：(g)3=g.有3个坑需要补种的概率为：(要使最大，只须C2(2,解得57,QnN*,故=5,6,所以当为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大.最大概率为2.16(2)九=4时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为0,1,2

6、,3,4,X5(4,3,P(X=3)=C(4=1,P(X=4)=C(4=3.24244216所以随机变量X的分布列为：所以X的数学期望石(X)=4xg=2.例4.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为，鱼苗乙、丙的自然成活率均为，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.(1)试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X,求X的分布列和数学期望；(2)试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，

7、为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【解析】解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,贝IJP(X=O)=O.2X0.1X0.1=0.002,P(X=1)=0.80.10.2+0.20.90.1+0.20.10.9=0.044,P(X=2)=0.80.90.1+0.80.10.9+0.20.90.9=0.306,P(X=3)=0.8X0.90.9=0.648.故X的分布列为：

8、0123E（X）=OX0.002+10.044+20.306+30.648=2.6.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0.10.5=0.95,.一尾乙种鱼苗的平均收益为100.95-20.05=9.4元.设购买尾乙种鱼苗，方）为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，贝IJ/（）=9.4376000,解得40000.所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于万元.例5.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用

9、水量范围（单位：立方米）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（国）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（团）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到左户月用水量为一阶的可能性最大，求上的值.【解析】（团）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户.第二阶段水量的户数X的可能取值为0,1,2,3,尸(X=O)=苛0=/P(X=I)=生G30512C2C1尸(X=2)=皆co,P(X12v=3)=cfcG30112所以X的分布列为0123X的数学期

10、望矶X）=OXA+1齐2、2+3、白=|.(团)设y为从全市抽取的io户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得丫bo,P（X=左）=c（1）1）（=0,1,2,3,.,10），即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.例6.已知4,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列如下5%10%2%8%12%(1底八足两个项目上各投资io。万元”和丫2分别表示投资项目4和B所获得的利润求Da)和。化)；(2)将x(x1)万元投资4项目，1007万元投资B项目，/(%)表示投资人项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和.求/(%)的最小值，

11、并指出X为何值时，/(%)取到最小值.【解析】（I）EX=5%X1OOx0.8+10%XIOo义0.2=6,（2）/。）=。（上升）+。（殴三右）二（）2。（工）+（幽）2（为）100100100110044=WO7+3（1一1）2=（4-600X+31002）,当元=75时,/(%)取最小值3.例7.某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验，每天需求量与

12、当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于25,30),需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表气温范围天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.(1)求今年9月份这种水果一天需求量X(单位：公斤)的分布列和数学期望；(2)设9月份一天销售特产水果的利润为V(单位：元)，当9月份这种水果一天的进货量为(单位：公斤)为多少时，V的数学期望达到最大值，最大值为多少？【解析】解析：(1)今年9月份这种水果一天的需求量X的可能

13、取值为2000、3500s5000公斤，4+1436P(X=2000)=-=0.2,P(X=3500)=母=0.4,于是X的分布列为：200035005000X的数学期望为：EX=20x0.2+35x04+50x0.4=48.(2)由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑20005000,当3500孔5000时，若气温不低于30度，则y=4；若气温位于25,30),贝Uy=350x4(一35(X)x3=245()()3；若气温低于25度，贝y=2000x4(2000)x3=14。3；221止匕时EY=-4n+-(24500-3)+-(14000-3)

14、=12600-n11900当20003500时，若气温不低于25度，则Y=4；若气温低于25度，则丫=20004-(h-2000)3=14000-3n;4113止匕时EY=-4n+-(14000-3)=2800+y11900;所以=3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900.例8.长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验,每天的需求量与当天最高气温(单位：C)有关,如果最高气温不低于25。C,需求量为600桶加果最高气温(单位：C)位于区间20,25),需求量为400桶；如果最高气温低于20C,需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温(C)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求九月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；(2)设九月份一天销售这种冰激凌的利润为V(单位：元)，当九月份这种冰激凌一天的进货量