专题18不等式选讲（解析版）.docx

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1、大数据之十年高考真题(20132023)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题18不等式选讲1真题汇总1 .【2023年全国甲卷理科23】已知，b,C均为正数，且q2+4c2=3,证明:(1)+b+2c3；A1(2)若b=2c,贝b+3.【答案】见解析见解析【解析】(D证明:由柯西不等式有。2+炉+(2c)2(12+I2+I2)(+&+2c)2,所以Q+&+2c3,当且仅当。=b=2。=1时，取等号，所以+b+2c3；(2)证明：因为b=2c,0,b0,c0,由(1)得+b+2c=+4c3,-11即OVa+4c3,所以+4c3由权方和不等式知工+-=-+J出字=v3，aca4ca+4ca+

2、4c当且仅当工=：,即=1,c=;时取等号，a4c2所以工+-3.ac2.【2023年全国乙卷理科23】已知，b,C都是正数，且涓+/+S=1，证明：(1)bc%(2)+-+-0,b0,c0,则a10，b10，S0，333I所以GS螭口a.b.c,即(Mcf5所以Qbc当且仅当空=/=右，即Q=b=C=当时取等号.(2)证明：因为0,h0,c0,所以b+c2hc,+c2c,a+b2b,333SFrDJC1d2bbb2CJCc27么=；，=，=b+c-2bc20Fca+c_2c24abca+b_2K2bc333333abca2&2c2成+应+9111；H；H；=；=；b+ca+ca+b2Vabc

3、2yabc2Vabc2VaFc2Vabc当且仅当Q=b=C时取等号.3.【2023年全国甲卷理科23】已知函数/(%)=|%2,g(%)=|2%+3|2%1|.(1)画出y=/(%)和y=g(%)的图像；(2)若f(%+q)g(%),求。的取值范围.【答案】图像见解析；Q3(1)可得/(%)=吐2|=jH画出图像如下：A34,X，2g(%)=2x+3|-2x-1=4%+2,-%0,当y=+)过ZG,4)时，+-2=4,解得=苫或一(舍去)，则数形结合可得需至少将y=f(%)向左平移苫个单位，y.4.【2023年全国乙卷理科23】已知函数/(%)=%-0+%+3.(1)当Q=I时，求不等式/(%

4、)6的解集；(2)若f(%)-,求。的取值范围.【答案】(1)(,-4U2,).(2)(|,).(1)当Q=I时，f(%)=|%1+%+3,I汽1+%+3表示数轴上的点至!J1和3的距离之和,则f(%)6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6,当=-4或%=2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,数轴上到1-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是-4或/2,所以“%)6的解集为(8,4U2,+8).(2)依题意f(%)-a,即%-+x+3-Q恒成立,%-+%+3=x+x+3+3|,当且仅当(-%)(%+3)O时取等号，fMmin=+3|,故+31-Ct

5、f所以Q+30或Q+3f(x+1)的解集.【答案】(1)详解解析；(2)(8,).作出图象，如图所示:【解析】(%+3,X15%-1-%3,%I(2)将函数/(%)的图象向左平移1个单位，可得函数/(%+1)的图象，如图所示:由%3=5(%+1)1,解得/.6所以不等式的解集为(-8,-6.【2023年全国2卷理科23】已知函数f(%)=|%M+%2q+4(1)当Q=2时，求不等式/(%)4的解集；(2)若f(%)4,求Q的取值范围.【答案】(1)%或日；(2)(8,1u3,+8).【解析】(1)当=2时，/(x)=x-4+x-3|.当3时，/(%)=4-+3-=7-2%4,解得：|;当3x4

6、时，f(%)=4-%+%-3=14,无解；当/4时，/(%)=%4+%3=2%74,解得：%y；综上所述：f(%)4的解集为%I或卦(2)f(x)=xa2+x-2+1(x-2)-(%-2+1)=-a2+2Q-I1=(Q-I)2(当且仅当2a1XM时取等号)，(-I)24,解得：Q一1或Q3,Q的取值范围为(一8,-1U31+).7 .【2023年全国3卷理科23】设。，b,cR,G+Hc=0,abc=1.(1)证明：ab+bc+ca0,.ah+be+c=-1(2+h2+c2)0,b0,c(+21,即有(x-2)2+(y-1)2+(Z-C1)2的最小值为)，由题意可得(Q；2)33解得-1或-3

7、.9.【2019年全国新课标2理科23】已知/(x)=xax+x-2(X-Q).(1)当Q=I时，求不等式0的解集；(2)当x(-8,D时，f(x)0,求Q的取值范围.【答案】解：(1)当a=1时，f(X)=-1x+-2(-1),V/(%)0,当XV1时，于QX)=-2(%-1)20,恒成立，0,不满足题意，.的取值范围为：口，+8)10.【2019年新课标1理科23】已知mb,C为正数，且满足HC=1证明：(1) -+一+一2+2+c2;abc(2) (+b)3+(+c)3+(c+q)324.【答案】证明：（1）分析法：已知。，b,。为正数，且满足c=1.I11要证(1)-+-2+2+c2;

8、因为abc=1.abc就要证:2+(-c)2+(。-C)20;:，b,C为正数，且满足4。C=1(a-/?)20;(M-C)20;Qb-C)220恒成立；当且仅当：=。=C=I时取等号.即(-。)2+(-c)2+(-c)220得证.I11故一+-+-2+2+c2得证.abc(2)证(a+。)3+(A+c)3+(c+)3224成立；即：已知,b,C为正数，且满足Hc=I.(+。)为正数；(C)为正数；(c+)为正数；(+)3+(+c)3+(c+)33(+)(+c)(c+);当且仅当(0+A)=(+c)=(c+)时取等号；即：a=b=c=1时取等号；*a,b,C为正数,且满足“bc=1.(+Z?)

9、2V0h;(+c)2c;(c+)2Vc;当且仅当=b,=c;c=4时取等号；即：=。=C=I时取等号；(+/?)3+(+c)3+(c+)33(+)(+c)(c+)38VahVbcc=24c=24;当且仅当a=b=c=1时取等号；故(+()3+(+c)3+(c+)324.得证.故得证.【2018年新课标1理科23已知I(X)=x+1-a-1|.(1)当=1时，求不等式/(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式/(x)x成立，求Q的取值范围.2,x12x,-1%1,2,%1,x1或21x1解得x与1故不等式的解集为(5,+8),(2)当x(0,1)时不等式/(x)x成立,.,.x+1-ax-1|-x0,即x+1-ax-1|-x0,即|办-I1V1,.-Kax-11,00x0,20x-,a.,.02,故的取值范围为(0,2.12.2018年新课标2理科23设函数。CX)=5-x+a-x-2|.(1)当=1时，求不等式/(x)20的解集；(2)若/(x)1,求Q的取值范围.2x+4/X12,-1x2.-2x+6,%2当XW-I时，/(X)=2x+40,解得-2WxW-1,当-IVXV2时，/(x)=220恒成立，即-IVXV2,当工22时，/(%)=-2x+60,解得2WxW3,