专题20：凹凸反转问题 (教师版).docx

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1、专题10：凹凸反转问题1.设函数/(X)=Inx-e1x,g(%)=a，-1)-.%(1)判断函数y=()零点的个数，并说明理由；(2)记h(x)=g(x)-(x)+-M,讨论h(x)的单调性；xe(3)若/(%)051e.(x)=-+-0,%e故f(x)在(0,+)递增；又/(1)=-1,f(e)=1-e1e=1-O,ee故函数y=(x)在(1e)内存在零点，.y=(%)的零点个数是1;(2)z(x)=1(%2-1)Iwc+JH=ax2aIwc,%ex1,1221h(%)=2ax=(xO)jXX当O时,h(x)O时，由h,x)=O,解得：X=+(。,白)时，(“。，3)递减，X(=,+)时,

2、hf(x)O,h(x)递增,综上，,O时，h(x)在(O,-+w)递减,O时,h(x)在(0,3)递减，在七1，+递增;2a2(3)由题意得：Iwc15在(1,+8)恒成立,%e设左二，Xexe若记匕(x)=ex-ex,则k；(x)=ex-e,x1时,(x)0,K(X)在(1,+8)递增,ki(x)k1(1)=0,BPk(x)o,若0,由于%1,故a(x2-1)-Znxg(x)5即当/(%)0,当O时,设II(X)=a(x2-X)-Inx若41,即0。/时，22,九(X)递减,X(-J=9+)9九(X)递增,由(2)得尤(1,今)故h(-,)O,yj2a2a即存在X=1,使得/(%)g(%),

3、12a故OQ；时,/(x)g(x)不恒成立；若即一时，2a2设s(x)=a(x2-1)-Znx-+,%ex,/、-I1eS(X)2(1XI,XXex由于2ax.x,且勺(X)=e-exO1即三，eXeX因止匕S，(x)x+2j+1=0,XXXXX故S(X)在(1,+8)递增,即a.-B5f(x)g(x)在(1+),恒成立,2综上，6Z-,+00)时，/(x)1等价于x1nxxex-.e设函数g(x)=x加X5则g(%)=1+/X，所以当(0,-)时5g(x)0.e故g(X)在(。2)上单调递减，在(1+00)上单调递增,ee从而g(x)在(0,+Oo)上的最小值为g(-)=-ee设函数z(%)

4、=XeT-2,则旗X)=Gr(I-尤)，e所以当X(0,1)时，(x)0;当X(1,+)时,h,(x)h(x)即f(x)1.3 .设函数“%)=1nx+-X.%(1)当用-2时,求F(X)的极值；(2)当a=1时,证明：/(%)-，+%0在(0,+8)上恒成立.【解析】(1)当-2时，/(%)=加二71，(%)+与1=*+1),%.当x(0,2)时,fr(x)O；当x(2,+)时,fx),Xex设g(x)=xzx+1j则短(%)=1+阮T,在(02)上，/(x)O,g(%)是增函ee数.所以g(x).gd)=i-1ee设MX)=W,则“(%)=5exex在(M)上，W)0,力是增函数；在(1,

5、+8)上,W)05力是减函数,所以以戏,z(1)=-1-5ee所以(x)g(x),即三O5艮PIwC-OjexexXex即7(%)-4+%。在(。，+8)上恒成立.4 .已知函数/(%)=exa-In(X+a).(I)当心3时，求/(X)的单调区间与极值；(II)当Q,1时，证明：/()O.【解析】(I)0=g时,f(x)=ex2-n(x+-),于x)=e2X+2注意到y=Jq与y=-T都是增函数，于是/(%)在(Iy)上递增，x+-22又d)=0,故-1%工时，r(x)0,2222所以f(X)在U)上单调递减，在(*00)上单调递增，当X时，/取得极小值1,了无极大值.(6分)2(II)方法

6、一:当区，1,x(-1,+)时,x-a.x-1,x+&x+1,.exa.ex,In(X+a),In(X+1),exa-In(X+a.ex1-Ir1(X+1)故只需证明当=1时，/(x)=ex1-In(X+1)O.当=1时，f,(x)=ex11在(T,+)上单增,x+1X)=-o5(D=o5e2故fr(x)在(-1,+)上有唯一零点(0,1)当x(-1)时，f()0；当C,+8)时，fO从而=不时，/(幻取得最小值.由Jf(XO)=O得：ex0-1=-,0,x+1x+1综上,当时，/()o.(12分)方法二：先证不等式e.x+1与x-1.Inx,设g(x)=-x-1,则g,()=ex-1=0=j

7、c=0,可得g(%)在(,0)上单减，在(OM)上单增，.g()=ex-x-1.g(O)=O,SPex.x+1；h(x)=X-I-Irvc,贝IJh,(x)=1-=Ox=1,可得心)在(M)上单增，在(1,+8)上单减,/.h(x)=x-1-1nx.h(1)=O5即x-1.Inx.于是，当知1时，x-a+1x+q-?In(X+d),注意到以上三个不等号的取等条件分别为：X=、=1x+a=1,它们无法同时取等，所以,当时,exa1n(x+a),SP/(x)O.(12分)5 .设函数小)=画,g(%)=Inx+b,其中Q,牝H,e是自然对数的底数.(1)F(x)=xf(x),当=1时,求方(X)的

8、最小值;(2)证明：当=。4g(x)-Z?.e【解析】(1)F(x)=xex-1,F,(X)=(x+1)ex-1,当(-,-1)时5Ff(x)O,方(%)单调递增，故X=T时，方(X)取得最小值F(-1)=-e2;(2)/()=./=/在(九*T)处的切线方程为尸尸x+(1-*T,.g),.g(%)=加+在点(,Inn+。)处的切线方程为y=-x+1nn+b-1,由题意得一一n5则(*1)尸-m+b=O,(1-m)emi=Inn+-1令*h(m)=(mI)】-m+b,则hr(x)=me帆T-I,由(1)得一V-1时,r(m)单调递减，且h(m)-1时,”(单倜递增,又(1)=0,机VI时，hf

9、(jri)O,二.当帆1时，h,ni)1时，h,ni)O,Mni)单调递减,由(1)tz(-1)=(-2)2+1.-+10,eXz(3-)=(2-2+2-3(2-)(3-)+27-3=(-)2+-0,24h(1)=-1xg(x)-bInx0,令G(X)二InX(X0),以下证明当.时，G(X)的最小值大于0,Xe求导的G(X)二幺J二(XTf-,XXX当OV-I时,Gr(x)0,Hf(x)=ex+-o5又“(2)=f2=za.o,ax-1)aaH,x=ex+0,又“(2)=/_2=竺E.oa(x-1)aa2取代(1,2)且使即a(t-1)ae-Y贝IJH(X)=-/_/=0,1)HSH(2)G

10、(2)=1-Zz2O5所以G(X)0,综上所求,当时，/(x)xg(x)-.e6设函数/(x)=1nx+ax1+x+1.(1)当=-2时，求函数/(X)的极值点；(2)当=o时,证明：加”(X)在(0,+)上恒成立.【解析】(1)由题意得X(0,+8)J(X)-2%+1=-2f+%+1,XX当(%)0时，0x15/(%)在(U)上为增函数；当(x)15/(%)在(1,+8)上为减函数；所以1是/的极大值点，无极小值点(2)证明：令F(x)=xex-/(x)=xex-1nx-x-1(x0),贝IJFx)=(X+1)ex-1=山(%/-1),XX令G(X)=XeX1,贝1)因为6(%)=(%+1)d0(尤0),所以函数G(X)在(0,+)上单调递增，G(X)在(0,+8)上最多有一个零点,又因为G(O)=TvO,G(1)=e-10,所以存在唯一的c(0,1)使得G(C)且当x(0,c)时,G(X)09即当(0,c)时,F(x)0,所以P(X)在(0,C)上单调递减,在(GW)上单调递增,从而F(x).尸(C)ce，Incc1J由G（C）=0得c-I=O即=1,两边取对数得：Inc+c=09所以b(c)=O,F(X).F(C)=0,从而证得xex./(x)