专题18 直线与方程解析.docx

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1、专题18直线与方程第一部分真题分类1. (2023.浙江高考真题)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点尸满足IPA1TP司=2,且P为函数y=3-V图像上的点,则QPI=()A.叵B.C.7D.W25【答案】D【解析】因为IPAI-P5=20),而点JP还在函数y=37的图象上，所以,故选：D.2. (2023全国高考真题(文)点(0,-1)到直线y=M%+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】由y=左(+1)知直线过定点玖1,0),设AQ1),当直线y=左(X+1)与AP垂直时，点A到直线y=左(X+1)距离最大,即为=2.故选：B.3. (202

2、3.全国高考真题)已知函数/(X)=HT,玉0,马0，函数/3的图象在点A(X1J(XI)和点3(/，/(X2)的两条切线互相垂直，且分别交y轴于“，N两点，则取值范围是.【答案】（0）II1,0zxx,XQ所以点A（石,1-6画）和点与（尤2,*T）,kAM=-*#bn=*，所以一6“1/2=1,玉+=0，所以AM:y-1+ex=-ex（0,exx1-eX1+1）,所以IAMj=Jxj+1X1XI)=11+e2x1?同理忸N=+e2x2x2,所以西-石+/画,_+*_1+e2x2故答案为：（0,1）44. （2019江苏高考真题）在平面直角坐标系Xoy中，尸是曲线y=x+5。）上的一个动点，

3、则点P到直线x+y=O的距离的最小值是.【答案】4.4【解析】当直线+=。平移到与曲线y=%+?相切位置时，切点。即为点P到直线+=。的距离最小.由y=1T=-1，得X=（-舍），j=3,即切点。（,3）,则切点Q到直线+y=O的距离为|3+3&I=4，故答案为4.5. （2023.江苏高考真题）已知函数了是定义在（,0）u（0,y）上的偶函数，当x0,且“1）.又直线Ax+y+2根+5=0（mH）恒过定点A,且点A在函数/（九）的图像上.求实数，的值；（2）求/（T）+/的值；求函数%）的解析式.1og1（-x）+IxxO【解析】（1）由直线/过定点可得：m（x+2）=-y-5,所以直线/过

4、定点A（-2,-5）.又因为O时，/（x）=Iogf1（-%）+Ix,所以/(-2)=Iog,2_4=_5,有IOga2=1,I=/.(2)/(-4)=Iog14-8=-10,因为为偶函数，所以八8)=/(-8)=k8-16=-19,2所以/T)+/(8)=29.(3)由知，当x0时，A%)=1ogJf)+2%.当0时，x0,/(-x)=1og1%+2(-x)=1og1x-2x22又为偶函数，所以/=/（T）=1oSi%一2,21og1（-x）+Ixx0、26.（2019江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥AB（A3是圆。的直径）.规划在公路/上

5、选两个点P、Qf并修建两段直线型道路尸3、QA.规划要求:线段尸5、QA上的所有点到点。的距离均不小于同。的半径.已知点A、B到直线/的距离分别为AC和（C。为垂足），测得A5=10,AC=6,BD=U（单位:百米）.（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，尸和Q中能否有一个点选在。处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、。两点间的距离.【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作垂足为E由已知条件得，四边形Aa）E为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=

6、8.因为84所以CoSNPBO=SinNAB石二而.PB=二芋=15所以cosZPBD45因此道路总的长为15（百米）.（2）若。在。处，由（1）可得月在圆上，则线段BE上的点（除8,E）到点。的距离均小于圆。的半径，所以尸选在。处不满足规划要求.若。在。处，连结AQ,由（1）知AD=AE2+ED2=10,AMcosZBAD=ad2+ab2-bd2=2_0,所以NR4。为锐角.2ADAB25所以线段Ao上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，。选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.（3）先讨论点尸的位置.当NOBPOB,即线段PB上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点尸符

7、合规划要求.设为/上一点，且由（1）知，5=15,3此时=ABsin/RBD=ABCoSZEBA=15-=9;当NO5P90。时，在中，尸545=15.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15,点。只有位于点。的右侧，才能符合规划要求.当QA=I5时，CQ=2A2-AC2=152-62=321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当必，AB,点。位于点C右侧，且CQ=3T时，d最小，此时尸，。两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=V7+321.因此，d最小时，P,。两点间的距离为17+3T（百米）.解法二：（1）如图，过。作。垂足为以O为坐标原点，直

8、线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为&）=12,AC=6f所以OH=9,直线/的方程为产9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为A5为圆。的直径，AB=IOf所以圆。的方程为N+y2=25.3从而A（4,3）,B（-4,-3）,直线A5的斜率为一.44因为P51AB,所以直线PB的斜率为-,425直线尸B的方程为y=三.所以尸(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路形的长为15(百米).(2)若尸在。处，取线段5。上一点E(-4,0),贝UEo=45,所以尸选在。处不满足规划要求.若。在。处，连结AD,由(1)知。(-4,9),又A(4,3),3所以线段ADy=-

9、+6(-44).4在线段AD上取点M(3,9),因为OM=J32+q行彳=5,所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆。的半径.因此。选在O处也不满足规划要求.综上，。和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当NOBPOB,即线段尸5上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点P符合规划要求.设为/上一点，且由(1)知，5=15,此时今(13,9)；当NO5P90。时，在4P45中，PBAB=I5.由上可知,d15.再讨论点。的位置.由(2)知，要使得Q15,点。只有位于点。的右侧，才能符合规划要求.当QA=I5时，设。(，9),由AQ=痴-4)2+(9-3了=15(4),得。=4+3，所以Q

10、(4+3e，9),此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆O的半径.综上，当P(-13,9),Q(4+321,9)时，d最小，此时P,。两点间的距离P2=4+32T-(-13)=17+321.因此，d最小时，P,。两点间的距离为17+3T(百米).第二部分模拟训练一、单选题221.已知双曲线三-a=1(。0乃0)与函数=6(X.0)的图象交于点尸，若函数y=JI的图象在点尸处的切线过双曲线左焦点产(4,0),则双曲线的离心率是()7+4+3C+2n+1.D.C.D.4444【答案】D【解析】设尸的坐标为(见痴)，由左焦点尸(4,0),所以原方=血二2m+4函数的导数/3=A则在P处的切线斜

11、率k=f(m)=-r=，2mm+4即n+4=2zn,得加=4,则P(4,2),设右焦点为A(4,0),则2=|尸尸|PAI=A/64+4J+4=2(何一1),即G=J万1，c=4,.双曲线的离心率e=9二姮1.a4故选：D2 .直线y=+2和双曲线1y2=的渐近线相交于A,6两点，则线段AB的长度为()3A.26B.6C.23D.3【答案】A【解析】双曲线：一/=1的渐近线为y=*,设y=x+2与y=Y3相交于A点，与y=且%相较于B点，3 3y=x+23解得6(83,g1),yXy=x-2由、回解得A(3y3,y31)9由2=2(%1),即2xy=0.故选：C.4 .若圆G：(x2了+(丁+

12、1)2=4与圆G关于直线工+丁3=0对称，则两圆的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】圆G：(x2y+(y+1)2=4的圆心为GOT)，半径为2,设圆心G(2,1)关于直线X+y3=0的对称点为C2(m,M),可得圆。2的方程为(X-4)2+(y-1)2=4,由于圆心距d=(42)2+(1+1)2=2班,满足：|222005 .已知函数/(x)=,若XIWX2且/(石)=/(%2)，则上司的最大值为()JC十1,JC_UA.22B.2C.2D.1【答案】B【解析】当x0时，/(x)=x1nx,求导x)=1nx+1,令I%)=0,得X=J(n1、当x0,-时，r(x)O,/(x)单调递增；e1e)如下图所示：设点A的横坐标为玉，过点A作轴的垂线交函数y=()于另一点6,设点5的横坐标为修，并过点6作直线y=%+i的平行线/,设点A到直线/的距离为d,上1二昌，