专题18 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转(解析版).docx

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1、专题18单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转一、凹函数、凸函数的几何特征二、凹凸反转很多时候，我们需要证明|X)O,但不代表就要证明式X)min,因为大多数情况下，/(X)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法,如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明|X)0,可把1X)拆分成两个函数g(x),II(X),放在不等式的两边，即要证g(x)z(x),只要证明了g(x)min%(x)max即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立.很明显，g(X)是凹函数，A(X)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转

2、.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友,指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.三、六大经典超越函数的图象和性质1.X与e的组合函数的图象与性质函数f(x)=xexex於)=/图象定义域

3、R(8,O)(O,+)R值域(8,O)(e,+)(-8,(单调性在(一8,1)上递减在(-1,+8)上递增在(一8,0),(0,1)上递减在(1,十上递增在(一8,1)上递增在(1,十上递减最值夫X)min=A-D=_F当x0时，)mi=i)=KX)max=Q)d2.X与InX的组合函数的图象与性质函数f(x)=JdnX府)?)-x八7Iwc图象定义域(O,+)(O,+)(0,1)(1,+)值域(-8，)(-00,0)e,+)单调在(0,3上递减在(O,e)上递增在(e,+oo)上递减在(0,1),(1,e)上递减在(e,+oo)上递增性在，+8)上递增最值U)max=(e)=土当x0时，)m

4、in=e)=e【例题选讲】box1例1(2014全国I)设函数八%)=Qeqnx十二曲线y=(x)在点(1,11)处的切线为y=e。-1)+2.求。，b；证明:1.(OeI(X1)解析(1)f(x)=acx1nx+-j+丁(x0),由于切线y=e(-1)+2的斜率为e,图象过点(1,2),2ex1_2(2)由(1)知tXx)=ex1nx+f(x0),从而/(x)1等价于JdnX疣-%一.构造函数g(x)=x1n%,则g,(x)=1+1n%,所以当x(,S时，/(x)V0,当xg,+)时，(x)0,故g(x)在(0,J上单调递减，在+)上单调递增，从而g(x)在(0,+8)上的最小值为H=一巳.

5、_2构造函数/Z(X)=Xex-,则h(x)=e(1-%).所以当x(0,1)时，z,(x)O;当x(1,+8)时，z,(x)0时，g(x)A(x),即应x)1.(例1即(例2即-yn-1例2已知函数而O=一G一(mR).(1)求函数式x)的单调区间；(2)当机=0时，证明：x0,ex2(1+Inx)(x)xf(1).Hn11四乙乙、“心,(2xm)ex-ex(x2+m%+1)-x2+(2-m)x+(m-1)解析(1)函数式x)的定义域为R,/(%)=-=-T-x2+(m-2)-(m-1)(x-1)x+(m-1)人j,rt.=-T-2k-,令/(x)=0,解得x=1,X2=1-m.当相VO时，

6、10,函数x)单调递增；x(1-m,+oo)时，/(x)0时，11m,故(-co,1m),/(x)0,函数式x)单调递增；x(1,+s)时，/(x)o时，函数yu)的单调递减区间为(一,1m),(1,+),单调递增区间为(1根，1).尤2+1IY2-4-1O(2)当m=0时，fix)=e%.则所证不等式为ex2(1+1nx)+ie,r)r)即efq+inx)/3,因为x0,所以所证不等式等价于ex(1+1nx)X2记函数g(x)=e(x+x1nx),(x)=(0)则g%x)=e(2+1nx),所以当x(,4时，g%x)VO,函数g(x)单调递减；当xg,+)时，g%x)O,函数g(x)单调递增

7、.所以双必=ex+占第=TX又勿(X)=丁，所以当x(0,1)时，(x)0,函数z(x)单调递增；当x(1,+00)时，(X)VO,函121数z(x)单调递减.故z(x)z(%),即ex(1+1nx)G-综上，当相=O时，x0,ex2(1+1nx(1).2例3已知x)=Iiix+最.(1)若函数g(x)=M;X),讨论g(x)的单调性与极值；(2)证明:於)日.2解析(1)由题意，得g(x)=x(x)=jdnx+*O),则gXx)=x+1.当Xe(O，S时，g(x)O,所以g(x)单调递增，所以g(x)的单调递减区间为(0,|,单调递增区间为+所以g(x)的极小值为g()=,无极大值.2QJc

8、1JC(2)要证Inx+瑟(X0)成立，只需证Jdnx+7(x0)1立，令(%)=短，则h,(x)=-jr,CvCCCCC当x(0,1)时，,(x)O,z(x)单调递增，当x(1,+00)时，(x)了，即1nx+杳，所以/(x)CCCJiCC(例3图)(例4图)例4已知/(x)=x1n%以，g(x)=-X2-2.当=-1时，求力在九m+3(m0)的最值；12(2)求证：VX0,+oo),Inx1.exex解析(1)(x)=JdnX+x,/(x)=1nx+2m0,.m+3g.e.(x)的单调减区间为(,单调增区间为七+/Wmin=/=/(x)max=(m+3)=(m+3)1n(m+3)+m+3机

9、时，/(x)min=加口根+加，/(x)ma=(n+3)1n(m+3)+3.(2)所证不等式等价于InX+1-x1nx+%-.exexeXe设P(X)=JdnX+x,p,(x)-1+x+1=x+2,1,POO夕(X)min二夕.p(x)在o,4单调递减，在4，+00)单调递增,设4(x)=XeT,O(X)=(Ix)e.夕在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减，.q(x)q(X)max=9=P(x)min9(x)ma,+)，P(X)Pa)minq(x)max9(%)所证不等式成立【对点精练】1 .已知函数fix)=e1nxaxaR).(1)讨论人x)的单调性；(2)当=e时，证明：xf(x)

10、ex+2exo),若正0,则/(x)0,式X)在(0,+上单调递增；若0,则当Ox0;当XW时，/(x)0,所以只需证X)好一2e,当q=e时，由(1)知，x)在(0,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减，所以x)max=D=-e.e*CV)e%记g(x)=一2e(x0),则g(x)=-丁一，所以当0x1时，g(x)1时，/(x)0,g(x)单调递增，所以g(x)min=g(D=-e.综上，当x0时，Sg(X),即“Y)S?2e,即功力-e*+2ex0.证法二：由题意知，即证ex1n-ex2-e+2exS0,从而等价于InX4+2设函数g(x)=1n-x+2,贝1JgO;当x(1,+oo

11、)时，g,(x)O,故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减，从而g(x)在(0,+oo)上的最大值为g(1)=1.e*g(x1)设函数%(%)=嬴，则(X)=-2一.所以当X(0,1)时，hf(x)O,故(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+上单调递增，从而z(x)在(0,+oo)上的最小值为Zz(I)=1综上，当x0时，g(x)0.当=e时，求函数/(x)的极值；(2)求证：e2x2-ex11nx-x0.4 .解析当=e时，f(x)=ex-e1nx-e9ff(x=e,r(1)=0.%f,f(=ex+-0,/.f(x)(0,+)单调递增.x(0,1)时，f,(x)ff(1)=0.(%)在(0,1)单调递减,在(1+oo)单调递增./(X)的极小值为1)=0,无极大值.(2)由(1)得e*-e1nx-eOex-e1nxe,所证不等式：e2x2-ex11nx-x0OeX-e1nx-.设g(%)=-7=犹，gr(x)=e2-x-xe2x=(1-x)e2-x,令/(x)0可解得：x1.g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+oo)单调递减.g一=g(1)=e./.ex-e1nxeg(x),即e尤-e1nx-,:.e2x2-ex11nx-xO.5 .设函数/(x)=InJr+旦一%.%(1)当a=2时，求/(x)的极值；