专题18 直线与圆问题（解析版）.docx

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1、一、直线与圆知识框架二、直线与圆的方程问题【一】直线的方程及其应用1、直线方程的5种形式(1)点斜式：y-y1=k(x-xi)(2)斜截式：y=kx+b(3)两点式：=(x1x2,y1y2)J2-JiZf(4)截距式：-+=1(0,Z70)ab(5)一般式：Ax+By+C=G(A,B不同时为0)2、三种距离公式(1) A(X1,%),8(%2,%)两点间的距离：IABI=J(X2-芯)2+(%-%)2(2)点到直线的距离：JAVjB(其中点P(XO,%),直线方程：Ax+By+C=0).A2+b?3、两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线4,，2的斜率k1,k2存在，则/，2O左I=左21

2、，,2O左/2=1；若给出的直线士口r力田H友拓RbI痛力+1公旦无力例题【例1】设XH,则X=3是直线2双+(XDy=I与直线6x+(11)y=4平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当X=3时，两条直线的方程分别为6x+4y+1=0,3x+2y2=0,此时两条直线平行;若两条直线平行，,则24义(1力)=6(14),所以；I=3或；1=1,经检验，两者均符合;综上：“X=3是直线2x+(X-1)y=1与直线6x+(1X)y=4平行”的充分不必要条件，故选A.【答案】A【例2】过点(1,2)的直线/与两坐标轴分别交于A、B两点，O为坐标原

3、点，当AOA5的面积最小时,直线/的方程为()A.2x+y4=0B.X+2y-5-0C.x+y30D.2x+3y-8=01O【解析】设/的方程为+2=1(a0/0),则有一+=1,abab因为a00,所以1+Z22,即12JZ,abVabab121所以J8,当且仅当一=,即=2=4时，取ab2即当=2/=4时，AQ45的面积最小.此时/的方程为鼻+(=1,即2x+y4=0.故选A.【答案】A2.巩固提升综合练习【练习1】若两平行直线4:x2y+m=0(m0)与，2：2x+y6=0之间的距离是J1则以+=(.)【解析】因为4平行，所以IX=2x(2),1x(6)2xm,解得=-4,m-3,所以直

4、线小的方程是x2y3=0,又4,之间的距离是右，所以年上W=火，解得机=2或机=-8(舍去),所以加+=2,1+4故选C.【答案】C【练习2】直线/过点P(1,4),分别交X轴的正半轴和y轴的正半轴于点A,B两点，O为坐标原点,当QH+1。最小时，/的方程为.【解析】经检验直线/的斜率存在，且斜率为负，设直线/的斜率为左(左0),则直线I的方程为y4=左(x1),4令y=o得A(I,0),令X=O得6(0,4左),k则IcMI+OB=(J3)+(4左)=5(左+3)=5+(V+W)5+4=9,kkk当且仅当左=W,即左=2时，QH+o闺取得最小值此时/的方程为2x+y6=0.【答案】2x+y-

5、6=G【二】圆的方程及其应用1、圆的标准方程(1)以(,b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)特别地，/+J=/&。)的圆心为(0,0),半径为八2、圆的一般方程99D9E9D2+E2-4F方程Y+/+瓜+4+JF=O变形为(+5)2+(丁+耳)2=.npd2+E2-4F(1)当。2十石24尸0时，方程表示以()为圆心，、为半径的圆；222(2)当。2十二2一4/=0时，方程表示一个点。)；(3)当。2十石24/0),则圆心到直线2xy=0的距离。二及二8二拽，4+15解得1=2,半径一(_0)2+(0_后=3,所以圆C的方程为(2了+V=9.【答

6、案】(x-2)2+y2【例2】圆心为点C（4,7）,并且截直线3x4y+1=0所得的弦长为8的圆的方程（）C(X-7/+(y-4)2=5【答案】BD.(x-7)2+(y-4)2=251112-28+1C【解析】圆心到直线的距离d=3,9+16在直线3%-4y+1=0上截的的弦长为8.圆的半径r32+42=5圆的方程为(x4)2+(y7)2=25故选：B求圆的方程的方法（1）几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.（2）待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而求出圆的方程.2.巩固提升综合练习【练习1

7、】已知圆C关于y轴对称，经过点（1,0）且被X轴分成两段弧长比为1：2,则圆C的方程为（）B.(Xy)2+/D.x2+(y-)2=33r）j【解析】由题意知圆心在y轴上，且被X所分的劣弧所对的圆心角为T,设圆心为(0,)，半径为r,则rsin(=1coSm=Id,解得厂二，即产=/H=贝UQ=Y,331133故圆C的方程为/+(yg)2=g.【答案】C【练习2】以C(1O)为圆心，并且与圆/+V4+3=0外切的圆的方程是()A.(x+1)2+j2=2B.(X+1)2+,2=4C.(I)?+/=2D.(%-1)2+y2=4【答案】B【解析】根据题意，设圆。的半径为R,圆f+J4%+3=0,即(x

8、2y+y2=,其圆心为(2,0),半径=1,设M(2,0),若圆。与圆M外切，则有尺+-=|/。=3,则H=2,则所求圆的方程为(x+iy+V=4;故选：B.【三】直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系的判断直线/:A+5y+C=0(A,B不全为0)与圆(+(y了=0)的位置关系的判断方法有：(1)几何法：圆心(。力)到直线/:AX+6y+C=O的距离为d,dr。直线与圆相离.Ax+By+C=0(2)代数法：由4:C。消元，得到的一元二次方程的判别式为A,则(x-a)2+(y-)2=r2A0o直线与圆相交；A=Oo直线与圆相切；Aq+马O两圆外离，(2) d=q+马O两圆外切，(3)

9、打一臼dTj+gO两圆相交，(4) 2二化一寸0两圆内切，(5) Od2J(%+%)2_4%迷2=j+gJ(%+%)2-42%(其中左0),特别地，当左二。时，IAB1=IX11；当斜率不存在时，Wq=1%卜【知识拓展】1 .圆的切线方程常用结论过圆/+,2=/上一点P(M),yo)的圆的切线方程为xox+yoy=r2.(2)过圆(Xo)2+(y-A)2=r2上一点、P(0,yo)的圆的切线方程为(M)。)(X-Q)+(y。-30。)=5.(3)过圆P+y2=r2夕J点、M(jco,yo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为XOX+yoy=r2.2 .圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位

10、置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(7,产项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.1例题【例1】已知圆(x+iy+(y1)2=2加截直线1+丁+2=0所得弦的长度为4,则实数机=()A.2B.4C.6D.8【解析】圆心(1,1)到直线x+y+2=0的距离为d=,由弦长公式得2)(2加)_(后I=4解得加=T,故选B.【答案】B例2若直线ax+by=1与圆x2+j2=1有两个公共点，则点P(mb)与圆x2+y2=1的位置关系是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能【解析】根据题意，直线依+勿=1与圆+y2

11、=1有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线OX+勿=1的距离d=JVr=I,变形可得2+21,展十则点尸(,)在圆/+俨=1的外部；故选：B.【例3】若圆CX2+y2=5一机与圆R(X一3)2+(y-4)2=16有三条公切线，则机的值为()A.2B.JC.4D.6【解析】若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，圆石(3,4),半径H=4,圆C(0,0),半径二5tn,贝IJEeI=4-5-5,即5m=1,得5-机=1,则机=4,故选：C.【例4】已知圆G：V+V乙+2y=O与圆。2：/+y2+4=O的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且点P在直线MX-一2=0上，则加2的取值范围是()A

12、.(0,)B.(0,C.(,一)D.(,4444【解析】将2+y2一左+2y=0与+/+左丁一4=0相减，得公共弦所在的直线方程为而+(左2)y4=0,即k(x+y)(2y+4)=0,2y+4=0fx=2由得4，所以定点为尸(2,2),因此2加+22=0,x+y-0y=-2Y(m+n)21_所以机+zz=1,mn-=一，故选D.44【答案】D【例5】已知点M(3,1)及圆(xiy+(y2)2=4,则过点M的圆的切线方程为.【解析】由题意得圆心C(1,2),半径尸=2,当直线的斜率不存在时，方程为=3,由圆心C(1,2)到直线=3的距离d=31=2=知，这条直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方

13、程为y1=左(x3),即左xy+13左=0,因为相切，所以2+1叫;2,解得左=3,VFTI43故方程为y1=W(X3),即3x4y5=0；综上所述：过点M的圆的切线方程为=3或3x4y5=0.【答案】=3或3x4y5=02.巩固提升综合练习【练习1】已知直线工+百丁根=O与圆0:/+/=2相交于A,B两点，O为坐标原点，且A+=AB,则实数机的值为.【解析】由质+祢=靠且IdH所卜也，可知A5C为等腰直角三角形，则点O到AB所在直线的距离为1.I-m1Im1由=口=1,得机=2.1+32【答案】2【练习2】已知两条平行直线,/2之间的距离为1,/1与圆C/+=4相切，/2与C相交于4B两点,则A5=()A.2B.JC.2D.23【解析】根据题意，/1与圆C/+y=4相切，则圆心C到直