专题18 保险问题（解析版）.docx

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1、专题18保险问题例1.购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得W000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金io000元的概率为iOggs。(I)求一投保人在一年度内出险的概率；(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为5。元，为保证盈利的期望不小于。，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)o【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的1。人中出险的人数为4,则(IO,M)(I)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付ioOOO元赔

2、偿金，则A发生当且仅当4=。，2分P(A)=I-P(A)=1-P(=0)=1-(1-P),又P(A)=I-0.999，故=001(II)该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和。支出IOoooJ+50000,盈禾IJ=100001(100004+50000),盈利的期望为E=IOOOOtz-10000E-50000,由B(1O4。-3)知，JEJ=IO(X)0义10-3,-IO4-IO4IO4103-5IO4ooQ15(元)。故每位投保人应交纳的最低保费为15元例2.某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗

3、位共分为A、B.。三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).(I)根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的2。,试分别确定各类工种每张保单保费的上限；(II)某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以(I)中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【解析】(I)设工种A的每份保单保费为。元，设保险公司每单的收益为随机变量X,则X的分布列为保险公司期望4攵益为EX=1J)+(-50104)r=Q5根据规则-50.2角隼得6.25元，设工种5的每份保单保费为匕元，赔付

4、金期望值为5义?义2=10元,则保险公司期望利润为b-10元，10根据规则b-10-50)200000.1-oo4(200000.60200000.320000()1d2解得94“275,所以每张保单的保费需要满足9A275元.(II)若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为I/2jtI2(MXX)(O.6x-xOOIO403x-irx1IO40,x-x50I04)=1720000IO5IO5IO4若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为20000(0.6a0.30J)0.6(0.90.1)0,620000解得9af37.1IO4,故建议企业选择方案？.例5.按照我国机动车

5、交通事故责任强制保险条例规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情;兄如表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这8。辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；（2）某销

6、售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.若该销售商购进三辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；假设购进一辆事故车亏损4。元,一辆非事故车盈利8。元.若该销售商一次购进10。辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.【解析】（1）由题意可知X的可能取值为0.9,0.8a,0.7qM,1.1,13.由统计数据可知：P(X=O.9)=；,P(X=0.8a)=,P(X=O.7).,JP(X=,31P(X=IM=R,P(X=1.3a)=-.所以X的分布列为：（2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车

7、的概率为:三辆车中至少有2辆事故车的概率为设y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，y的可能取值为TOOO，8000.所以的分布列为：r-40008000P13E(Y)=-4000-+8000-=5000,所以该销售商一次购进wo辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为1石(Y)=50万元.例.某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付5。元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已知一年中的出险率为0.15%,现有6000人参保.(1)求保险公司获利在6,12)(单位：万元)范围内的概率(结果保留小数点后三位)；S)求保险公司亏本的概率.(结果保留小数点后三位)k附：P(k)=Yq0000

8、.0015zO.99856oooz.z=0【解析】每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害看作成功，则成功概率为0.0015.6000人参保可以看成是6000次独立重复试验，用X表示一年内这6000人中遭遇意外伤害的人数，则XB(6000,0.0015).(1)由题意知，保险公司每年的包费收入为30万，若获利6万元，则有12人出险；若获利12万元，则有9人出险.当遭遇意外伤害的人数X(9,12时，保险公司获利在6,12)(单位：万元)范围内.其概率为P(915时，保险公司亏本.P(X15)=1-P(X15)=1-0.978=0.022.保险公司亏本的概率为0.022.例7.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额J的分别列与期望。【解析】设4表示第左辆车在一年内发生此种事故，攵=1,2,3.由题意知A,4,独立，且P(A)=T,P(A)=A，P(A)=A-(I)该单位一年内获赔的概率为89103i-P(AA4)=i-m)A)A3)=i-