四年级奥数数字谜综合(有答案).docx

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1、第十九讲数字谜综合（二）内容概述涉及质数与合数等概念，以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题.典型问题1 .试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数）.口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质.其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数.【分析与解】714=23717.由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2,3,5,6中只能选5,也就是说，第三个数只能是5.现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字.因为任意两个偶数都有公约数2,而71

2、4是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质.最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质.显然,263与5也互质.因此,其他两个数为263和5.2 .如图19-1,4个小三角形的顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20,而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等.问这6个质数的积是多少？【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了

3、3次,所以4S=2S+20,即S=IO.这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是：2X2X3X3X5X5=9003 .在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立.【分析与解】记两个乘数为灰和Cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7.由条件,b与C相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与C中有一个是5另一个是3、5或7,如果b不是5,那么c必然是5,但73X5=365、77X5=385的十位数字都不是质数.因此b是5,c是3、5、7中的一个，同样道理,d也是3、5、7中的一个.再由条件

4、，75的乘积的各位数字全是质数,所以乘积肯定大于2000,满足积大于2000且a、C取质数,只有以下六种情况：775X3=2325,575X5=2875,775X5=3875,3757=2625,575X7=4025,775X7=5425.其中只有第一组的结果各位数字是质数,因此a=7,c=3,同理,d也是3.最终算式即为775X33=255754 .把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方.那么这个和数是多少？【分析与解】设原来的两位数为耳，那么交换十位数字与个位数字后的两位数为,两个数的和为yr,两个数和为取+声=IoX+y+x+1（）

5、y=11（x+y）是11的倍数,因为它是完全平方数,所以也是11H=121的倍数.但是这个和小于100+100=200229).而220229之间个位数字不是2且是3的倍数的只有225=3X75和228=3X76.如果第一乘数是75,又第二个乘数的百位数字是3,那么它们的乘积小于75X400=30000,它的首位数字也就不可能是3,不满足.乘数是76,另一个乘数就要大于3000076394,那么只有395、396、397、398、399这五种可能，它们与76的乘积依次为3002030096、3017230248、30324.由于各个数字都不能是2,所以只有76X396=30096满足题目的要求

6、.算式中所得的乘积为30096.方法二：为了方便说明，将某些位置标上字母，如下列图所示，因为干位最多进1而最终的乘积万位又不能是2,所以只能是3：而第5行对应为22口;ABXC,其中C不可能为1,又不能为2,那么最小为3.当C为3时,22=ABX3,那么A只能为7,B只能为4,5或6,(D当B为4时,74X3=222,第5行个位为2,不满足题意；(2)当B为5时,ABXCDE对应为75X3DE,小于30000,不满足；当B为6时,ABXCDE对应为763DE,D只能为9,此时第4行对应为ABXD即76X9;684.因为3000076394,所以39E只有395、396、397、398、399这

7、五种可能，它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30324.由于各个数字都不能是2,所以只有76X396=30096满足题目的要求.验证C取其他值时没有满足题意的解.所以算式中所得的乘积为30096.12 .请补全图19-6这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少？【分析与解】易知除号下第二行的首位为9.除号下第一行开头两位为1、0,商的十位为0.第二行9口对应为CDXA,EH回回(1)9口不可能为90,不然第一行前三位10与第二行90的差不回团)臼叵I应一21T可能为一位数,不满足第三行特征；7r-1(2)9对应为91时,第三行的首位对应为10-91,最

8、小为9,里乌所以只能为9,那么有91=CDXA,928=CDXB,不可能；回团回(3)9口对应为92时,第三行的首位对应为10口-92,最小为8,叵回回所以可能为8、9,如果为9,那么对应有92=CDA,928=CDB,不可能；如果为8,那么对应有92=CDXA,828=CDXB,不难得知A=1,B=9,CD=92时满足，那么被除数为92X109=10028.验证没有其他的情况满足,所以这个除法算式的商数为109.13 .假设用相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字,那么在等式学习好勤动脑X5=勤动脑学习好X8中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？【分析与解】设“学习好为X,“勤动

9、脑”为Y,那么“学习好勒动脑为IOOoX+Y,“勤动脑学习好”为1000y+x,有（IOoOX+Y）X5=（1000y+x）X8,化简有4992x=7995y,4992=1283X13,7995=3X415X13,即所以，”学习好勤动脑所表示的六位数可能为205128,410256,615384,820512,但是不能有重复数字,所以只有410256,615384满足,其中最小的是41025614 .互为反序的两个自然数的积是92565,求这两个互为反序的自然数.（例如102和201,35和53,11和11,称为互为反序的数,但120和21不是互为反序的数.）【分析与解】首先可以确定这两个自然数均为三位数,不然得到的乘积不可能为五位数.设ABCCBA=92565,那么C、A中必定有一个为5,一个为奇数.不妨设C为5.AB55BA=92565,那么A只能为1,B55Bi=92565.又注意到92565=