四边形辅助线专题训练.docx

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1、一、和平行四边形有关的辅助线作法1 .利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1,点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OEVAD互相平分.说明：当条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2 .利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2,在ZkABC中,E、F为AB上两点，AE=BF,EDAC,FG/AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3 .利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3,AD是aAB

2、C的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.图3图4说明：此题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实少得采用了平移法构造平行四边形.当中点或中线应思考这种方法./o二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角黑，借助疑形辨定定理或性质定定理解决问题.例4如图5,在aABC中，ZACB=90o,NBAC的平分级交自于后D,E是AB上一点，且AE=AC,EF/BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形zG例5如图6,四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行

3、四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6如图7,矩形ABCD内一点，PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长.图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形

4、问题的常用辅助线.例7如图8,过正方形ABCD的顶点B作BEAa且AE=Aa又CMAEIi封出三/AEB.形的对角线构造说明：此题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.正方形AHB0,进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形.例1.：如图，AD为AABC中线，求证：AB+AC2AD.类题1：如图，AD为A8C的中线,AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行例2.：如图，在AABC中，ZC=90o,M为AB中点，P、Q分别在想f求证：PQ2=AP2+BQ

5、2.5E.求证：NE=ND.类题2.：3C的边BC的中点为N,过A的任一直线AoJ_5。于D,三、有中点时，可连结中位线.且BD=CE,M、N为BE、CD中点，连MN交AB、AC例3.如图,ABC,D、E分别为AB、AC于P、Q,求证：AP=AQ.CBF/CD.求证：EFAB-CD).类题3.：如图，E、F分别为四式A类题4.如图，A3C中，AD是中点；(2)ZB=2ZBCE.四、有底边中点，连中线，利例4.：如图，在MAABF,FE_1AC于E.强底DE=D啤戈，DG1CE,G为垂足，DC=BE.求证：(1)G是CE的D一性质证题,D为BC边中点，P为BC上一点，PEJ_Ab于类题5.：如图

6、，矩形ABCD,E为CBC且AC=CE,F为AE中点，求证：BF-1FD.六、与梯形中点有关的辅助线:例5.：如图，布直角梯形ABgB/1、是否发生变化？证明结论。2、如CC三独跳辅助H1点.求证：A嵋=MB.E：S梯形ABCO=FV、用行四边形ABCD,芯线相交于点点P、E、F分别是a/)B、类股6.：梯形【作)不在同一直线上，其余条件不变，上述结方DD需同一直线求证:PE=EFNBC的中点。、(DABAOB=60%的中点，AC=2AB1,M4、等腰梯形ABCD中，DCABA求证：AEFM是等边三角形。口点。求证：MN与PQ互相；=CD,M.Q5、如图，在四边形ABCD中，A垂直平分。6、如

7、图，在aABC中，E是AB的中点，CD平分NACB,耳里叫垂芳垓D,求证：2DE=B5AC7、BD、CE分别为AABC外角平分线，AM_1BD于M,AN_1_枪壬楸诙加出B、BC,AC的关系。(1)假设将上题中BD改为NABC的平分线，*它条件彳多姿么里海论悬否成力G(2)假设BD、CE分别为NABC和NACB的平麻，其4嫉亲知依高论是否成立？(画图、证明)8、ZABC中，AB=AC,NBAC=,%hB1AGzAE,且A洲ET连结DE。如图1所示，那么易证BD=CE,如图2所示，将吵E询针针旋转到婶5图位置CEeU)判断BD与CE的数量为累及BDCE延长线所夹锐角的房金。(2)点G、F分的群等

8、腰AABC、等腰力濒底边的由点，NBAC=N,A1Ke陶线段CD的中点,试探索NGPF与勾信关系，并加以证明/7E9、我们翎必注*：E有一组相背内胆相赞W边形叫哪3声四边形的以下问题：(1)写出/个你所制的特殊晌*t喧薪W西边喇瞰的磐(2)如雷&_伴AqI&AB战乙目D在BCX,且淋F分另场BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G.求证：四i形AGEC是等邻角例如,C(3)如图2,假设点D在AABC的内部，(2)中的Nf也彳件不，产CD交于点H.图中是否存在等邻角四边形，假设存在，指出是哪个四边形，不必废明;僖J烤宿归请说明理由.1、在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,Cp

9、,DA新礴连结EF,FG,GH,HE。(1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；1C%一一(2)试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形,B并说明理由。/2、如图，在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的.矩形jx小结：中点四边形：EB对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形对角线的四边形的中点四边形是矩形ax,1c(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.(2)顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.(3)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.(4)顺次连接菱形各边中点所得的四

10、边形是.(5)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是()A.矩形B.直角梯形C.菱形D.正方形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会方案在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，那么水池的形状一定是A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形3、.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，那么以下四边形满足条件的是（平行四边形菱形等腰梯形对角线互相垂直的四边形A.B.C.D.4、顺次连接四边形力四各边的中点所得四边形是菱形，那么四边形4力一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四

11、边形C.矩形D.对角线相等的四边形5.如图,在梯形ABCD中，ABCD,AD=BC,点E,F,形H分别是AB,BC,CD,DA的中点,那么以下结论一定正确的选项是（）.为兵QA.ZHGF=ZGHEB.ZGHE=ZHEF必/C.ZHEF=NEFGD.ZHGF=NHEF6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连，变形64州中甩透IJ第二个矩形,按照此方法继续下去。第一个矩形的面积为1,那么第个矩形的面积为。7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.假设一个四边形ABC。的中点四边形是一个矩形，那么四边形ABCD可以是.8、如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形.(1)(4)C女形FBC、CD、DA的中9、如图，四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC_1BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.证明：四边形45G是矩形；写出四边形ABGD和四边形4氏的面积;写出四边形的面积；求四边形4区儆的周长.10.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ZiADE点分别为P、Q、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边第9题图