专题33 图形的相似（原卷版）.docx

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1、专题33图形的相似图形的相似比例的性质成比例线段黄金分割相似多边形的性质平行线分线段成比例定理相似三角形的判定【考查题型】相似三角形的性质利用相似三角形相关知识解决实际问题位似图形坐标系与位似图形相似三角除合【知识要点】知识点一相似图形相似图形的概念：我们把形状相同的图形称为相似图形。【注意事项】1）相似图形的形状相同，大小不一定相同，全等图形是特殊的相似图形；2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；3）图形的相似与图形的位置无关。相似多边形的概念：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的性质：对应角相等，对应

2、边成比例。【注意事项】1）相似多边形对应边的比称为相似比,一般用k表示；2）若已知四边形A5C。与四边形A与GQ的相似比是左，那么四边形A与G2与四边形A5C。的相似比是1。k知识点二比例线段的概念及性质比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如=9（BPad=bc我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段。其中a、b、c、dbd叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、C叫比的内项,【补充】当比的内项相等时，即F=?或a：b=b：d,线段b叫做线段a和d的比例中项。【解题思路】O判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依

3、次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成0=9（即：。=bd第一条fg）,而不能写成q=4。第四条bC比例的性质：基本性质：=oad=be=oZ?2=acbdbc（交换内项）ca变形：4=色=4=二（交换外项）核心内容：adbebdbadh4=9.（同时交换内外项）、cao人八IruEacabcd合、分比性质：一=bdbd【注意】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差b-a_d-c变化比例仍成立.如：4=ecbda-b_c-da+bc+d1HaCem

4、Fr八、，a+c+e-Ymr等比性质：如果一=一=一=一=k（b+d+f1-0）,那么=kbdfnb+d+fYn黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果=），那么线段AB被点C黄金分割，点C叫ABAC做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。【注意】1）AC=亘1AB0.648AB（虫工叫做黄金分割值）.简记为：与=好二122全长22）一条线段的黄金分割点有两个。3）黄金三角形的概念：顶角是36的等腰三角形。4）黄金矩形的概念：宽与长的比等于黄金数的矩形。【扩展】作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB,按照如下方法作图:（1）经过点B作BD_1AB,使BD=1AB.2（2

5、）连接AD,在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点。知识点三平行线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例。D已知13/14/15,可得ABDETABDE#BCEFfBCEFTABBCF二或二或二或二或二等BCEFACDFABDEACDFDEEF2）把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况:把1（图1）或1（图2）看作平行AABC底边BC的直线，再根据平分线分线段成比例的定理，我们可以得出，平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。知识点四相

6、似三角形的判定相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号，读作“相似于”。相似三角形的判定：判断定理一：三边成比例的两个三角形相似，即:【技巧】判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等。判断定理二：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。即：若=k,且NC=NC则ACBC判断定理三：两个角分别相等的两个三角形相似。即：若C=C,N6=NB,则AABCsZVTbC判断定理四：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。即：在RtAB0aRtA8C中，”ABACABByC则RSBCsRtAABC【小结】三角形全等三角形相似

7、【常见的相似三角形】见附件Pdf知识点五相似三角形的性质1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。2)相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。3)相似三角形周长的比等于相似比。4)相似三角形面积比等于相似比的平方。知识点六位似位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心。【注意事项】1)位似图形是相似图形的一种特殊形式。2)位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。常见的位似图形：位Itt中心在两用影的一网图柩务丽天逾江西片厂Gfcf

8、而藐内国区的内部画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧。（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个。）判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心。位似图形的性质：1）位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。3）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形,使它与原图形的相似比为k,若原图形上点的坐标为（x,y）,则位似图形上与它对应的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）。画位似图形的步骤：

9、O确定位似中心,找原图形的关键点。2）确定位似比。3）以位似中心为端点向各关键点作射线。4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形。平移、轴对称、旋转、位似的区别：平移：和原图形一模一样（和原图形全等且能与原图形重合）轴对称：面积和原图形一样也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然它们全等）旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而旋转可以旋转出无数个。位似：位似出的图形只和原图形的角相等边就不一定相等了。【总结】平移轴对称旋转位似原图形全等全等全等相似考查题型一比例的性质典例1（2023江苏镇江.统考中考真题）九章算术

10、中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称物与祛码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个祛码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是祛码重量的倍.被称物祛码变式11（2023黑龙江大庆.统考中考真题）已知=W=jO,贝IJj现=234yz变式13（2023.四川内江.统考中考真题）已知非负实数a，b,C满足=?，设S=+%+3c的最大值为加，最小值为，则2的值为m考查题型二成比例线段典例2.（2023.湖南衡阳.统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上

11、部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.0Im.参考数据：21.414,31.732,52.236）A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m变式21（2023四川德阳.统考中考真题）我们把宽与长的比是避工的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我2们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABC。是黄金矩形，边A5的长度为61,则该矩形的周长为.变式22.（2023湖南常德.统考中考真题）在四边

12、形ABCD中，2B4。的平分线AF交BC于尸，延长AB到E使BE=FC,G是好的中点，GE交BC于0,连接GO.当四边形ABeD是矩形时，如图，求证：GE=GD;BChGD=GoFC.当四边形ABeD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论的证明.考查题型三黄金分割典例3.（2023.山西.中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割变式3（2023.四川巴中.统考中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点夕是线段A5

13、上一点（APBP）,若满足M=二，则称点P是A5的黄金分割点.黄金分割在日常APAB生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走,米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则X满足的方程是（）APBA.（20-）2=20XB.x2=20（20-%）C.%（20-）=202D.以上都不对变式32（2023.甘肃金昌统考中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感，若图中人为2米，贝小约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.

14、1.62米变式33（2023.湖北黄石.统考中考真题）如图，圆中扇子对应的圆心角戊（OVI80?）与剩余圆心角月的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6,则尸的度数是.变式34（2023.陕西.统考中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做”将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中石为边AB的黄金分割点，BE2=AEAB.已知AB为2米，则线段正的长为米.考查题型四相似多边形的性质典例4.（2023.广西梧州.统考中考真题）如图，以点。为位似中心，作四边形ABCD的位似图形AZC。，1已知鼻二鼻，若四边形ABeD的面积是2,则四边形AZC力的面积是（）变式41（2023.广西百色.统考中考真题）下列四个命题：直径是圆的对称轴；若两个相似四边形的相似比是1：3,则它们的周长比是1：3,面积比是1：6；同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有（）A.B.C.D.变式4-2（2023黑龙江牡丹江.统考中考真题）如图，矩形QABC的面积为36,它的对角线OB与双曲线产-考查题型五平行线分线段成比例定理典例5（