专题28 圆（原卷版）.docx

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1、【考查题型】圆周角定理圆周角定理推论专题28圆圆的周长与面积问题利用垂径定理求值利用垂径定理解决实际生活问题已知圆内接四边形求角度2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧、弦、圆心角的关系【知识要点】知识点一圆的有关概念圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点。叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以。点为圆心的圆记作。0,读作圆0。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：1）圆心；2）半径。备注：圆心确定圆的位置，

2、半径长度确定圆的大小。【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作如，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念

3、：小于半圆的弧叫做劣弧。弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。考查题型一圆的周长和面积问题典例1（2023江苏徐州.统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍变式11（2023山东潍坊.中考真题）墨子天文志记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABcD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形AZCD,若A:AB=2:1,则四边形AB,C,D,的外接圆的周长为.变式2（2023.四川内江.四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆

4、心为0,半径为厂的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是.变式13.（2023广西百色.统考中考真题）据国际田联田径场地设施标准手册，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间.某校据国际田联标准和学校场地实际,建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道.小王同学计算了各圈的长：第一圈长:872+2（36+1.20）400（米）；第二圈长:872+2（36+1.21）408（米

5、）；第三圈长:872+2(36+1.22)415(米)；请问:（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程）,在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇.若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍,求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）起跑线变式14.（2023江苏宿迁.统考一模）一块含有30。角的三角板ABC如图所示，其中NC=90。，ZA=30o,BC=3c机.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.A（

6、1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt,用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。考查题型二利用垂径定理求解典例2.（2023.安徽.统考中考真题）已知。的半径为7,AB是。的弦，点P在弦AB上.若朋=4,

7、PB=6,则OP=（）A. 14B.4C.23D.5变式24（2023.四川泸州.统考中考真题）如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点。，。的延长线交于点若AC=4,DE=4,则BC的长是（）B.2变式22.（2023四川凉山.统考中考真题）点P是，）0内一点，过点P的最长弦的长为IOCm,最短弦的长为6cm,则OP的长为（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm变式23（2023.四川自贡.统考中考真题）如图，AB为。的直径，弦CD1AB于点尸，AC于点E,若OE=3,OB=5,则C。的长度是（）变式24.（2023青海.统考中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为

8、圆心的圆的一部分,如果C是中弦AB的中点，C。经过圆心。交CO于点。，并且AB=4m,CD=6m,贝J。的半径长为m.变式25（2023上海.统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛。点。在弦AB上，AC=,BC=21,OC=I3,则这个花坛的面积为.（结果保留二）变式26（2023黑龙江牡丹江.统考中考真题）C。的直径CD=IO,AB是OO的弦，AB1CD,垂足为跖OM:OC=3:5,则AC的长为.变式27.（2023广西河池.统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以“（2,3）为圆心，AB为直径的圆与X轴相切，与y轴交于A,C两点，则点B的坐标是.考查题型三利用垂径定理求解实际问题典例

9、3.（2023.湖北鄂州.统考中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90。，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知。的直径就是铁球的直径，AB是。O的弦，CD切。于点E,AC1CD,BD1CD,若CQ=I6cm,AC=BD=Acm,则这种铁球的直径为（）图（1）图（2）A.IOcmB. 15cmC. 20cmD. 24cm变式31（2023贵州黔东南.统考中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形

10、瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB,量的弧AB的中心。到AB的距离CD=1.6cm,AB=6.4cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm.变式32.（2023.四川自贡.统考中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米.DAC变式33（2023.湖北荆州.统考中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20cm,底面直径BC=I2cm,球的最高点到瓶底面的距离为32Cm,则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.变式34.（2023贵州遵义.统考中考真题）数学小组研究如下问题：遵

11、义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28纬线的长度.小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2,赤道半径Q4约为6400千米，弦6C/OA,以BC为直径的圆的周长就是北纬28。纬线的长度；（参考数据：3,sin28o0.47,cos28o0.88,tan28o0.53）根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为千米.变式35.（2023湖北恩施.统考中考真题）九章算术被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载:今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用

12、锯去锯这木材，锯口深8等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）答：圆形木材的直径寸;变式36（2023.湖北宜昌.统考中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m,设AB所在圆的圆心为。，半径OC1AB,垂足为。.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接05.（1）直接判断AD与的数量关系；求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到Im）.知识点三与圆有关的角圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆

13、心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角二：圆心角）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个

14、三角形是直角三角形。考查题型四弧、弦、圆心角之间的关系典例4.（2023.四川广安.统考中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到6地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、5是圆上的点，。为圆心，ZAOB=I20。，小强从A走到B,走便民路比走观赏路少走（）米.A.6-6yf3B.6-9y3C.12-93D.12-183变式41(2023甘肃武威.统考中考真题)如图，点A1CD,石在一。上，AB=CD,ZAOB=42of则NCED=A.48oB.24oC.22oD.21变式42.（2023湖北武汉.统考中考真题）如图，AB是O的直径，BC是O的弦，先将5C沿5C

15、翻折交AB于点O.再将沿AB翻折交BC于点E1.若BE=DE，设NABC=2,则。所在的范围是（）C.22.7。a23.1。D.23.1023.50变式43（2023.山东青岛.中考真题）如图，BD是。的直径，点A,。在。上，AB=ADAC交BD于点G.若NCOD=I26。.则/AGB的度数为（）A.99oB.108oC.I1OoD.117o变式44.（2023四川泸州.中考真题）如图，。中，油=注C，NABC=70。.则NBoC的度数为（）A.100B. 90C. 80D. 70变式45（2023贵州贵阳.统考中考真题）如图，ASC是O的内接正三角形，点。是圆心，点。，E分别在边AC,AB上，若DA=EB,则NDO石的度数是度.变式46.（2023江苏盐城.统考中