专题15 海盗埋宝模型（原卷版）.docx

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1、专题15海盗埋宝模型（3种证明方法）模型文字概述：从前，某海盗头带着众海盗，用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上。他们要把这些财物埋下。因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了。但他们发现，岛上有三棵树，一棵是A,一棵是B,一棵是C。海盗头对一个水手说：从A到B拉一根绳子，然后从B出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做1号地点。水手这样做了。海盗头又对另一个水手说从A到C拉一根绳子，然后从C出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做2号地点。第二个水手也这样做了。等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：伙

2、计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！海盗们把财宝埋好了，上船走了。过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷地串通好了海盗头的小侍从，两个人回到岛上。可谁知，A被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树还在。水手非常懊恼，觉得他们的美梦要落空了。可是，小侍从却很聪明，他说别急，没有A,我一样能把财宝找出来！只见小侍从找到了另外两棵树连线的中点，过中点作了一条该连线的垂线，沿着该垂线在向岛内走出两棵树连线一半的距离，这时小侍从对水手说：这儿就是藏宝的地点，我们快挖吧！水手将信将凝，顺着小侍从指的那一点试着挖了下去，谁知挖了一会儿，果然挖到了海盗们以前埋下的财宝。两个人把财

3、宝全都挖了出来，高高兴兴地用船运走了。你能说明其中的原因吗？模型数学概述：如图，AABD和AACE是等腰直角三角形，点B、C为直角顶点，连接DE,点F为DE的中点，连接BF、CF,则ABFC为等腰直角三角形，点F为直角顶点。证明方法一：1）如右图，延长BF至点P,使得BF=FP,连接PE、PC,延长PE交AB于点Q连接BC点F为DE的中点.,.DF=EF在ABDF和APEF中BF=FPZBFD=ZPFe.BDFPEF(SAS).BD=PEZDBF=ZEPfDF=EF.,.BDPE.,.ZDBA=ZEQaYAABD和AACE是等腰三角形.*.AB=BDZDBA=90AC=AEZACE=90.*.

4、AB=PEZDBA=ZEQA=90o在四边形EQAC中VZEQA+ZECA=90+90=180ZQAC+ZQEC=360-180=180XVZPEC+ZQEC=180o.,.ZQAC=ZPEC在ABAC和APEC中AB=PEZBAC=ZPEc.,.BAPEC（SAS）.*.BC=PCZACB=ZECpAC=AEZACB+ZBCE=ZECP+ZBCEBPNACE=NBCP=90ABCP为等腰直角三角形又YBF=PE.,.CFBPCF=BFBFC为等腰直角三角形2）如右图，延长BF至点P,使得BF=FP,连接PE、PC,延长PE交AB延长线于.点Q,PQ与AC边相交于点G,连接BC/gVPQIBD

5、.ZQ=90o.ZQAG=ZGEc（8字模型）.ZBAC=ZPEc其它证明过程相同证明方法二（思路）：将ADAB沿AB对称得APAB,将AEAC沿AC对称得AQAC,连接PE,DQVABD和AACE是等腰直角三角形AB=BDZDBA=90oAC=CEZACE=90NDAB=NEAC=45Vzdap=Zeaq,ndap+Nead=neaq+neadBPZpae=Zdaq贝IJAPAE至ADAQ（SAS）.*.PE=DQZAPE=ZADQ则PE1DQ（手拉手梏VBF是ADPE的中位线，FC是AEDQ的中位线BF=E,BFPE,FC=Q,FCDQ.,.CFBFCF=BF.,.BFC为等腰直角三角形证

6、明方法三(思路)：连接BC,以Be边中点为坐标系原点，建立如图所示坐标系,过点D、A、E作BC边垂线，分别与BC边相交于点P、Q、M已知ADBP2ABAQ,ACQA2AEMC(一线三垂直模型).*.BP=AQ,BQ=DP已知AQ=-n,0Q=mBO=ICO=I.*.BP=-n则OP=I-(-n)=1+nBQ=1+m则DP=1+m所以点D的坐标为(-(1+n),1+m)同理QC=EM=1-m,OM=I-(-n)=1+n所以点E的坐标为(1+n,m)已知点F为线段DE中点，所以点F的坐标为(0,1)假设A点坐标(m,n),B(-1,0),C(1,0),BFC为等腰直角三角形【培优训练】1. (20

7、23春广东深圳八年级校联考期中)如图，已知的OM1EgGBAD=BCE=90o,ABD=WEC=30,点M为。E的中点，过点与/。平行的直线交射线ZM于点N.(1)如图1当/,B,三点在同一直线上时，判断ZC与CN数量关系为；(2)将图1中财CE绕点3逆时针旋转到图2位置时，(1)中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；(3)将图1中财CE绕点3逆时针旋转一周，旋转过程中国ON能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由.2. （2023秋山东日照九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）如图，已知回BAD和阴CE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90o,

8、点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.（1）当A,B,C三点在同一直线上时（如图1）,求证：M为AN的中点；（2）将图1中的团BCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时（如图2）,求证：团ACN为等腰直角三角形;3. （3）将图1中配CE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立,4. （2023春江苏八年级专题练习）已知：及问43C中，助CH=90。，酎BC=60。，将财HC绕点5按顺时针方向旋转.图1图2当。转到/3边上点C位置时，/转到，（如图1所示）直线CC和44相交于点。，试判断线段3和线段/。之间的数量关系，并证明你的结论

9、.将K问43C继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将R何43。旋转至Z、C、Zz三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角。的度数.（2023秋辽宁盘锦八年级统考期末）如图，已知ABAD和ABCE均为等腰直角三角形，回BAD二团BCE=90,点M为AN的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点No（2）将图1中的ABCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时（如图2）,求证：AACN为等腰直角三角形；（3）将图1中ABCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立,请说明理由。5.（2023秋黑龙江哈尔

10、滨九年级校考阶段练习）如图1,已知等腰RtABC中，为边ZC一点，过点作EF1AB于尸点，以防为边作正方形EE4G,且AC=3,EF=0如图1连接。尸，求线段。厂的长；连接正，M点为正的中点，连接MC、MF,求MC与MF关系.将等腰RtABC绕4点旋转至如图2的位置，连接班，M点为班的中点，连接A/C、MF,求AfC与MF关系.6. （2023山东济南中考真题）在等腰A43C中,ZC=3C,VADE是直角三角形，皿4=90。，财。=MC连接3。，点尸是班的中点，连接CF.（1）当团CZB=45。时.如图1,当顶点。在边/C上时，请直接写出旭45与国CA4的数量关系是.线段BE与线段CF的数量关

11、系是;如图2,当顶点。在边/3上时，（1）中线段成与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰AZBC底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取。的中点G,连接G,CG,并把C4G绕点。逆时针旋转90。，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题.（2）当国。8=30。时，如图3,当顶点。在边ZC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由.7.8. （2023河南统考中考真题）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE,记旋转角为。

12、.连接班过点。作。石垂直于直线班，垂足为点石，连接。成。,如图1,当2=60。时，D石&的形状为，连接BQ,可求出一的值为-DW1（2）当0。2360。且090时，中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由;当以点灯瓦为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出6井的值.DE9.10. （2019广西贵港中考真题）已知：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90,将ABC绕点。顺时针方向旋转得到A5C,记旋转角为。，当90。戊180。时，作AD1AC,垂足为。，AO与？。交于点E（1）如图1当NC4O=15。时，作NA宏。的平分线石厂交BC于点尸.写出旋转角。

13、的度数；求证：EAf+EC=EF;（2）如图2,在（1）的条件下，设?是直线4。上的一个动点，连接B4,PF,若AB=,求线段R4+QF的最小值.（结果保留根号）11. （2023秋广东梅州九年级校考阶段练习）在ABC中，M是5C边的中点.如图1,BD,CE分别是ABC的两条高，连接MD,ME,则MD与ME的数量关系是；若ZA=70,则NDME=；（2）如图2,点。，石在NBAC的外部，ZXABO和ZV1CE分别是以AB,AC为斜边的直角三角形，且ZBAD=ZCAE=30,连接血D,ME.判断中收与班的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；求NDME的度数；如图3,点。，片在ZBAC的内部，A

14、ABO和AACE分别是以AB,AC为斜边的直角三角形，且NBAD=CAE=a,连接MD,ME,直接写出NDME的度数（用含。的式子表示）.12. （2018宁夏银川银川唐徐回民中学校考二模）阅读理解：如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.垂美四边形有如下性质：垂美四边形的两组对边的平方和相等.已知：如图1四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E.求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：回四边形ABCD是垂美四边形团AC团BD,mAED=AEB=0BEC=CED=9Oo,由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+C

15、E2+DE2,AD2+BC2=AB2+CD2.拓展探究：(1)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.(2)如图3,在RtMXBC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB,AC为底边，在Rt团ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；问题解决：如图4,分别以Rt国ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5.求GE长.13.14. (2018秋广东广州九年级中山大学附属中学校考期中)已知在蜘BC中，助C=60。，点尸为边BC的中点，分别以43和ZC为斜边向外作Rm4AD和