专题34 锐角三角函数（原卷版）.docx

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1、专题34锐角三角函数【考查题型】锐角三角函数余弦正切与特殊角三角函数有关的计算题解直角三角形与解直角三角形有关的计算题【知识要点】知识点一锐角三角函数锐角三角函数：如下图，在RtAABC中，NC为直角，则NA的锐角三角函数为（NA可换成NB）X定义表达式取值范围关系正弦.NA的对边斜边sinA=C0sinA1（NA为锐角）SinA=CosBcosA-sinBsin2A+cos2A=I余弦NA的邻边cosA=斜边bcosA=一C0cosAO（NA为锐角）tanA=cotBcotA=tanBtaA=J-（倒数）cotAtanAcotA=1余切（选）.NA的邻边ZA的对边,bcotA=acotA0（

2、NA为锐角）【正弦和余弦注意事项】DsinA.COSA是在直角三角形中定义的，NA是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）。2）sinACOSA是一个比值（数值，无单位）。3）sinA、CoSA的大小只与NA的大小有关，而与直角三角形的边长无关。10、30、45、60、90特殊角的三角函数值】三角函数304560SinaJ_22232cosa32222tana3310锐角三角函数的关系：1) SinA=cos(90o-A),即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。2) cosA=sin(90o-A),即一个锐角的余弦值等于它余角的正切值。3) tanA=cot(90o-A),即一个锐角的正切值等于

3、它余角的余切值。4) cotA=tan(90o-A),即一个锐角的余切值等于它余角的正切值。正弦、余弦的增减性：当0WaW90时,Sina随的增大而增大,CoSa随的增大而减小。正切的增减性：当0时，tana随的增大而增大，cota随的增大而减小。知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.直角三角形五元素之间的关系：1)勾股定理(a?+b?=C?)2)ZA+ZB=90o3)SinA=4A所对的边-4)cosA=乙A所邻的边-5)tanA=4A所对的边-4与解直角三角形有关的实际问题:

4、1)仰角：视线在水平线上方的角2)俯角：视线在水平线下方的角3)坡面的铅直高度Zz和水平宽度/的比叫做坡度(坡比)。h用字母i表示，即7=7。坡度一般写成1:加的形式，如i=1:3等。把坡面与水平面的夹角记作。(叫做坡角)，那么7=7=tan。4)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图，AP的方向角分别是：45北PB的方向角分别是：135PC的方向角分别是:2255）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图,OA的方向角分别是：北偏东30（东北方向）OB的方向角分别是：南偏东45（东南方向）OC的方向角分别是：南偏西60（西南方向）OD的方向

5、角分别是：北偏西60（西北方向）考查题型一正弦典例1（2023.吉林长春.统考中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AO垂直地面，垂足为点O,BC1AD,垂足为点C设NABC=下列关系式正确的是（）A. sin。二这BCB. sin。二生ABC. sin”空ACD. sinz=-AB变式11（2023贵州黔东南.统考中考真题）如图，PA,依分别与：。相切于点A、B,连接Po并延长与PA=Sf贝IJSinNADB的值为（）变式12（2023.江苏连云港.统考中考真题）如图，在6x6正方形网格中，ABC的顶点A、

6、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，贝USinA=变式13.（2023.江苏扬州.统考中考真题）在ABC中，NC=90。，a、b、C分别为NA、NB、NC的对边,若/=QC，贝IJSinA的值为变式14（2023.江苏常州.统考中考真题）如图，在四边形ABcD中，NA=NABC=90。，平分/WC.若AD=I,8=3,贝IJSinNA5。=变式15.（2023江苏无锡.统考中考真题）如图，已知四边形ABS为矩形AB=2,3C=4,点E在BC上，CE=AE,将AABC沿AC翻折到AARS,连接ER求E尸的长;（2）求SinNCE厂的值.变式16.（2023.山东济宁统考中考真题）知识再现

7、：如图1,在M2kABC中，ZC=90o,ZA,ZB,ZC的对边分别为。，,c.abfC,CsinAsinB.a_bsinAsinB拓展探究：如图2,在锐角ABC中，ZA,ZB,NC的对边分别为m小.请探究击或高P碇之间的关系，并写出探究过程.（2）解决问题：如图3,为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C测得AC=60机，NA=75。，NC=60。.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离.考查题型二余弦典例2.（2023.云南中考真题）如图，已知AB是。的直径，CD是OO的弦，AB团CD垂足为.若AB=26,CD=24,则NOCE1的余弦值为（）Ba变式21（2023四川

8、广元.统考中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、。都在格点处，AB与CD相交于点P,则COSNA尸C的值为（）变式22.（2023内蒙古通辽.统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C,D,贝UCoSNAQC的值为（）变式23.（2023四川凉山.统考中考真题）如图，在边长为1的正方形网格中，。是AABC的外接圆，点A,B,。在格点上，贝UCOSNAC5的值是变式24（2023.青海西宁.统考中考真题）在MAABC中，ZC=90o,AC=1BC=亚,则CoSA=变式25.（2023广西桂林.统考中考真

9、题）如图，AB是。O的直径，点C是圆上的一点，C1aAO于点DA。交。于点尸，连接AC,若AC平分NQAB,过点尸作厂G1AB于点G交AC于点求证：C。是。的切线；（2）延长AB和。C交于点,若AE=4BE,求CoSNn43的值；在（2）的条件下，求笠的值.AF变式26.（2023内蒙古赤峰.统考中考真题）如图，已知AB为的直径，点C为JO外一点，AC=BC,连接。C,。尸是AC的垂直平分线，交OC于点尸，垂足为点石，连接AD、CD,且ZDG1=NOG4.求证：AO是1O的切线；（2）若CD=6,0尸=4,求CoSN1MC的值.考查题型三正切典例3.（2023.辽宁沈阳.统考中考真题）如图，一

10、条河两岸互相平行，为测得此河的宽度Pr（Pr与河岸垂直），测P、。两点距离为机米，PQT=a,则河宽Pr的长度是（）A.msinaB.mcosaC.mtanaD.tancr变式31（2023湖南湘潭.统考中考真题）中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,戊为直角三角形中的一个锐角，贝tan。=（）A. 2B.-C.D.好225变式32.（2023福建.统考中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABe其中AB=AGZABC=2Jo,BC=44cm,

11、则高AD约为（）（参考数据:sin27o0.45,cos27o0.89,tan27o0.51）A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm变式33.（2023湖北荆州.统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在X轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2,连接AC过点。作OPAB交AC的延长线于P.若尸（U）,则变式34.（2023湖北黄冈.统考中考真题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角。为45。，C点的俯角夕为58。，5C为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度8为6相，则甲建筑物的高度AB为机.（sin58

12、o0.85,cos58o0.53,ta58o1.60,结果保留整数）.ABC变式35.（2023四川凉山.统考中考真题）如图，8是平面镜，光线从A点出发经8上点。反射后照射到B点，若入射角为,反射角为P（反射角等于入射角），AC,C。于点CBO1CD于点。，且AC=3,BD=6,CD=12,贝IJtana的值为.变式36.（2023山东济宁.统考中考真题）如图，点A,C,D,B在。上，AC=BCfZACB=90o.若CD=a,IanZCBD=g,则AD的长是.变式37.（2023浙江温州.统考中考真题）如图，在3ABe中，AD1BC于点O,E,尸分别是AcAB的中点，。是。尸的中点，EO的延长

13、线交线段8。于点G,连结。石，EF,FG.求证：四边形OE尸G是平行四边形.（2）当AD=5,tanNEDC=g时，求FG的长.变式38.（2023.江苏宿迁.统考中考真题）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CQ底部的俯角为30。，信号塔顶部的仰角为45。.已知教学楼AB的高度为20如求信号塔的高度（计算结果保冒根号）.考查题型四与特殊角三角函数值有关的计算题典例4.（2023.江苏宿迁.统考中考真题）计算：g+12-4sin60o.变式41（2023四川德阳.统考中考真题）计算：12+（3.14-）-3tan600+11-31+（-2）2.变式42（2023.山东滨州.统考中考真题

14、）先化简，再求值：+其中V-1a-1a=ta45+-0变式43（2023.贵州黔东南.统考中考真题）（1）计算：（I13+私+，石卜1.57-20；2IOrI1r21（1）（2）先化简，再求值：r-7-其中光=CoS60。X-2023%-2023x-1）考查题型五解直角三角形典例5.（2023.浙江杭州.统考中考真题）如图，已知AABC内接于半径为1的。O,NBAC=。是锐角）,则AABC的面积的最大值为（）A.CoSe（I+cos。）C. Sine（I+sin8）D. Sine（I+cos。）变式51（2023浙江杭州.统考中考真题）如图,在M及4。5中，NACB=90。，点M为边AB的中点，点、E在线段AM上，尸，AC于点尸，连接CM,CE.已知NA=50。，ZACE=30o.求证：CE=CM.B. CoSe（I+sin。）若AB=4,求线段尸C的长.变式52.（2023湖北黄冈.统考中考真题）问题背景:一次