专题12 多面体的外接球和内切球（原卷版）.docx

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1、对棱相等模型（补形为长方体）专题12多面体的外接球和内切球一、结论1.球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P-A5CD中，内切球为球0,求球半径厂.方法如下：VpABCDO-ABCD+O-PBC+%-PCD+O-PAD+O-PAB即：Vp_ABCDSABCD,+3SPBC,+SPCD,F+SPAD,F+PAB,T,可求出类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方

2、体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）墙角模型（三条线两个垂直）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径（A5=CD,AD=BC,AC=BD）3、单面定球心法（定+算）步骤：定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ZRC中，选中底面ABC,确定其外接圆圆心。1（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2=一）；sinA过外心。1做（找）底面A5C的垂线，如图中Po1，面A3C,则球心一定在直线（注意不一定在线段Pa上）Pa上；计算求半径R：在直线Pa上任取一点。如图：贝UoP=OA=R,利用公式OA2=

3、O1A2+Oa2可计算出球半径R4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥尸A5C中：选定底面A5C,定A5C外接圆圆心。1选定面AR45,定AR45外接圆圆心仪分别过。1做面ABC的垂线，和。2做面B45的垂线，两垂线交点即为外接球球心。二、典型例题1. （2023山西吕梁一模（文）在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖腌，如图在鳖1ABCD中，AB1平面5CD,AB=BC=CD=I9BCCDf则鳖腌ABCD内切球的表面积为（）B(,A.3B.（3-22C.12D.（3+2）【答案】B【解析】解：因为四面体ABcD四个面都为直角三角形，AB1平面58,BC1CD,所以A

4、B上BD,ABBCfBC1CD,ACCD,设四面体ABcD内切球的球心为0,则1BCD=%-ABC+O-ABD+O-ACD+O-BCD=%(SAAgC+SABD+SMCD+SAbcd)，3V所以G=JABCZ)因为四面体ABCD的表面积为Sabcd=Sabc+Sabd+5acd+Sbcd=1+2，又因为四面体ABCD的体积Vabcd=I,6所以%=生=1，所以S球=4打2=（320）万，S2故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2. （2023四川省南充高级中学高二期中（文）在三棱锥PABC中，1%,PB，PC两两垂直，PA=I,PB=2,PC=3,则该三棱锥的外接球的表面

5、积为（）A.学万B.56C.史叵TrD.14【答案】D【解析】将三棱锥PA5C补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R,贝14尺2=（2尺=92+尸52+尸。2=14,所以球的表面积为S=4tR2=14%.故选：D.【反思】由题意E4,PB,尸。两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.3. （2023全国高一课时练习）已知三棱锥尸-ABC,在底面ABC中，A=30,BC=I9PA_1面45。，PA=23,则此三棱锥的外接球的表面积为（D.1632【答案】D【解析】Rr1sinAsin30o设/ABC的外接圆半径为凡因为A=30,BC=I,由正弦定理得：2H

6、=一二二=二=2,所以ABC的外接圆半径为1设ABC的外接圆圆心为。，过点。做的平行线，则球心一定在该直线上，设为。，因为K4，面ABC,PA=23,由于OP=OA=R,故OD=PA=3,由勾股定理得：OA=OD2+AD2=2?即此三棱锥的外接球的半径为2,故外接球表面积为47rx22=16兀.P故选：D【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定一ABC的外接圆圆心。，再过。做E4的平行线，则可确定球心。在该直线上，进而通过计算求出外接球半径R.4. 三棱锥PABC中，平面5，平面ABC,R45和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为.【解析】：由于AA5C是正

7、三角形，并且边长为2,所以AA5C的外接圆圆心为O1,则HO、=与,O1C=当,同理可得APAB的外接圆圆心为O2,可得到HO2当,O2P=孚,分别过。】做面ABC的垂线，过O2做面B45的垂线交于。，因为平面R45，平面A3C,所以四边形Haa为正方形，且OC=R,利用勾股定理：OC2=0Q2+qc2=氏2=（*）2+（半）2=|,所以E二平【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面ABC,R45都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、针对训练举一反三一、单选题1.（2023湖北黄冈高一期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1,当

8、该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）A.2B.4C.3D.232. （2023靖海海南藏族自治州高级中学高三开学考试（理）如图正四棱柱ABC。-中，底面面积为36,VABG的面积为6月，则三棱锥5-4与G的外接球的表面积为C.172万D.106-3. （2023全国高三专题练习）已知四面体尸-ABC中，K4，平面ABC,=AB=2,3BC=13,StanZABC=-,则四面体尸-ABC的外接球的表面积为（）A.15B.Y1C.18万D.20%4. （2023江苏金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评.其中一位同学的作品是在

9、球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为g,面积为3%,则球。的表面积等于（）8Un8UC12U八12UA.B.C.D.82825. （2023云南弥勒市一中高二阶段练习）设直三棱柱A5C-A与G的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是空叵，AB=AC=AAi,ZBAC=UOo,则此直三棱柱的高是3（）A.1B.2C.22D.46. （2023重庆西南大学附中高一期末）已知正方形ABCD中，AB=2,E是8边的中点，现以A石为折痕将一ADE折起，当三棱锥O-AB石的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）7. （20

10、23广西柳铁一中高三阶段练习（理）在三棱锥A-5CD中，AB=AD=BC=3fCD=5,BD=4,AC=32,则三棱锥外接球的表面积为（）6364C128兀126A.B.C.D.8. （2023江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知四棱锥S-ABCD,5A，平面ABCD,AB1BC,ZBCD+ZDAB=,SA=2,BC=达,二面角S5CA的大小为上.若四面33体S-ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A.巫B.4岛C.I（RD.-33二、填空题9. （2023河南焦作一模（理）已知三棱锥尸-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且ABC是底边长为3后，面积为的等腰三角形，则该三

11、棱锥的外接球的表面积为.10. （2023河南驻马店高三期末（文）在三棱锥尸-ABC中，底面是以A5为斜边的等腰直角三角形，AB=4,PA=PB=PC=W,则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为11. （2023全国模拟预测（理）已知力、B、a为空间不共面的四个点，且BC=BD=2AB=22，则当三棱锥A-5CD体积最大时，其外接球的表面积为.12. （2023安徽马鞍山一模（理）三棱锥P-ABC中，AFAC是边长为2班的等边三角形，AB=BC=2,平面PAC，平面ABC,则该三棱锥的外接球的体积为13. （2023湖北荆州高一期中）如图，在一个底面边长为2,侧棱长为师的正四棱锥尸-ABCD中，大球。内切于该四棱锥，小球。2与大球&及四棱锥的四个侧面相切，则小球。2的表面积为