专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件（解析版）.docx

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1、专题09三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心,内心，外心(1)重心一一中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3)内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。2、设。为ABC所在平面上一点，内角A,8,。所对的边分别为。，则(1)。为AABC的外心O1OA1=I。6|=|OCI=.2sinA(2)。为AABC的重心OoA+06+0C=0.(3)。为ABC的垂心OOA06=0g0C=0C0A.(4)。为ABC的内

2、心OaoA+O6+cOC=0.3、奔驰定理奔驰定理：设。是ABC内一点，ABOC9AAOCfAQ5的面积分别记作臬，S,SC则SaOA+SbOB+ScOC=G.说明:本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式:。是ABC的重心OSa：，：SC=I:1:1oOA+OB+OC=Q。是ABC的内心oSa：，：S0=：力：COaOA+bOB+cOC=G。是AABC的外心OSA：Sb：SC=Sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0。是AABC的垂心OSa：SC=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0奔

3、驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题1. （2023四川西昌高二期末（理）在平面上有ABC及内一点0满足关系式：S0k。4+/0北05+5,毋0。=。即称为经典的“奔驰定理，若J1BC的三边为，c,现有0OA+AQ5+cOC=0则。为二ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【解析】记点。到ACA的距离分别为%，由，SObc=3。，SoAC=gb%，SOAB=gch1,因为S,5cBC=得：角A的平分线垂直于BC，所以AB=AC；IAB1IAC由CoSA=，所以A=J,所以-ABC为等边三角形，故D正确.ABAC223故选：ABCD.【反思】设。为ABC所在平面上一点

4、，内角A,B9。所对的边分别为。，。，则（1）。为AABC的外心O1Q4=06=0C=-2sinA(2)。为AABC的重心OOA+05+0(j=0.(3)。为ABC的垂心今OAO6=O5OC=OCOA4.已知G是ABC的重心，且满足56SinAGA+40sin4GB+35sinCGC=0,则BTT【答案】-3【分析】要牢记0i,QB,C前面的系数之比为1:1:1,求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】G是AAbC的重心，G4+G3+GC=O：.56sinA:40sinB:35sinC=1:1:1.*.sinA:sinB:sinC=5:7:8由正弦定理，:E:C=SiII4:SiI

5、I3:sinC=5:7:852+82-72_12582,a-U2+C22由余弦Te理，cosB=Iac,jB(0,),.B=3【反思】利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：。是ABC的重心OSa:Sb:Sc=1:1:1OA+OB+OC=O，可得到56SinA:40SinJB:35Sine=I:1:1,通过进一步利用三角形的正余弦定理，求出角B.三、针对训练举一反三一、单选题1. （2023宁夏银川一中高三阶段练习（理）J1BC中，。、氏C分别是5C、AC、AB的长度，若qQA+70与+cOC=0,贝IJo是ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【详解】OB=OA+AB,OC=O

6、A+ACaOA+bA+AB+cA+O(6i+Z?+c)OA-bAB+CAC)_.bAB+cACbe(ABAC.OA=+a+b+ca+b+c(I明AC).Qi在ZSAC的角平分线上，同理OB在NA5C的角平分线上，点0为三角形ABC的角平分线的交点故点。是三角形的内心.故选：B.2. (2023山东枣庄高一期中)已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足GA+G5+GC=0,则G点是三角形ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【详解】因为GA+G5+GC=。，所以GA+GB=-GC=CG,以GA、GB为邻边作平行四边形GAO连接GD交AB于点。如图所示：则CG=GD,所以G。=；

7、Co,点。是AB边的中点，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是5C边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，所以G点是三角形ABC的重心.故选：D.3. (2023福建厦门市湖滨中学高二开学考试)若。是平面上的定点，A,B,。是平面上不共线的三点，且满足O尸=OC+x(CB+C4)(2),则夕点的轨迹一定过ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【详解】因为O尸=OC+(cs+C4)(2),所以CP=;I(CB+ca),所以C5+CA在一ABC的边AB上的中线所在直线上，则(CB+C4)在一ABC的中线所在直线上，所以P点的轨迹一定过ABC的重心，故选：

8、C4. (2023全国高一课时练习)若。是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线的三点，若点P满足OP=ob+oc+aAPU(0,+-),则点P的轨迹一定通过ABC的()2A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【详解】设线段5C的中点为。，贝U有0O=；(05+0C),因此由已知得OP=QD+7AP，即。尸-OQ=%A尸，于是。尸AP，贝IJD/V/AP，因此夕点在直线Ao上，又AD是4A5C的5C边上的中线，因此点P的轨迹一定经过三角形A5C的重心.故选：C5. (2023全国高三专题练习)设。是平面上一定点，人仇C是平面上不共线的三点，动D点P满足。尸=+同+国),4(0,y),则动点

9、P的轨迹一定通过AABC的B.内心D.垂心A.外心C.重心【答案】B【详解】R因为OP=OA+%同+同）d3ABAC所以”=同+网），_AB.rAC如图，设AE=同，A尸=hd都是单位向量，则由向量的加法法则可得四边形AEF是菱形，所以AP=XA7，AT平分44C,所以动点尸的轨迹一定通过ABC的内心，故选：B6. （2023全国高三专题练习）在.ABC中，CB=a，CA=b且z/7hOP=OC+m+,mwR,则点夕的轨迹一定通过AABC的（何SinBMSinAA.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】A【详解】过。作。“1AB,交A5于H,取A5中点。，连接C。，如图所示：根据三角函数定义可得

10、WSinB=WSinA=IcHI,因为OP=OC+mI1sinBWSinA所以8一=向（），即3=向J即点P的轨迹在中线CD,而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点P的轨迹一定通过ABC的重心.故选：A二、多选题7. （2023广东广州高一期末）已知。N,尸，/在ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（）A.右IOA1=Io5|=|,则0是外心B.右PAP6=jR5jRC=PCPA,则P是垂心C.若NA+NB+NC=G,则N是重心D.CBIA=ACIB=BAIC=0则/是内心【答案】ABC【详解】根据外心的定义，易知A正确；（对B,PBPA-PC=PBCA=0PB1CA9同理可得：PA

11、CB,PCABf所以?是垂心，故B正确；对C,记AS、BC、CA的中点为D、E、F,由题意+-2NDNC则NC1=21ND,同理可得：IM11=2NE,NB=2N尸|,则N是重心，故C正确；对D,由题意，CB1IA,AC1IB,BA1IC,则/是垂心，故D错误.故选：ABC.8. （2023重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的一ABC,其外心为。重心为G,垂心为“，内心为。，则下列结论正确的是（）12A. AOAB=-AB2B. GAGB=GAGC=GBGCAP=A(ABAC1ABIIAC1J【答案】AD【详解】1t21.2解:对于A：给定的一ABC,其外心为。，所以A0AB=(AD+OO)=+DOAB=-AB,故A正确;对于B：由于点G为给定的uABC的重心，tGAGB-GAGC=GACBO,故B错误;对于C:点H为给定的一ABC的垂心，所以(AH+H8)HC=AB