专题10 平行线中点模型与雨伞模型（原卷版）.docx

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1、专题10平行线中点模型与雨伞模型平行线中点模型概述：平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。平行线中点模型：已知ABCD,点E,F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的Z中点，延长Po交CD于点Q,贝IJAPoEgAQOF证明：VAB/CD.ZPEO=ZOFQC丁点0为线段EF的中点JEO=OF在APOE和AQOF中-Zpeo=ZOFQEO=OF.ZPOE=ZQOFP0E2QOF(ASA)雨伞模型：如图AP平分NBAC,BDAP,垂足为点D,延长BD交AC于点C,贝IJAABD合ACD,AB=AC,BD=CD证明：VAP平

2、分NBAC.*.ZBAd=ZCADVBDAP/.ZBDA=ZCDa在AABD和AACD中-ZBAD=ZCAdAD=AD-ZBDA=ZCDa.ABD盘ACD(ASA)AB=AC,BD=CD【平行线中点模型过关练】1 .如图，正方形ABCD的边长为2cm,在正方形ABeD的右侧作矩形CEFG,点石在边5C的延长线上，CE=3cm,点C,D,G在同一条直线上，CG=5cm,连接AF,点H是AF的中点，则线段G的长为GC.6CmD.GCm2 .矩形ABCD与矩形CMG如图放置，点6、C、石共线，点CD、G共线，连接AR取A厂的中点连接GH.若BC=EF=3,CD=CE=I,则GH=3 .如图，45CZ

3、）的顶点C在等边ZXBEF的边B尸上，点E在AB的延长线上，G为。石的中点，连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则BG的长为.4 .如图，口A5CD的顶点C在等边的边5尸上，点石在AB的延长线上，G为OE的中点，连接CG.若5 AD=3,AB=CF=2,则CG的长为.6 .如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG团AD于G,连接GF.若回A=80。，贝时DGF的度数为7 .如图，已知等边三角形ABC的边长为4,过AB边上一点P作PE1AC于点,。为5C延长线上一点,7.如图，在等边0ABC中,取PA=CQ,连接尸。，交AC于则EM的长为过点。作。G0AC于点G,过点。

4、作DH0BC交AC于点凡点。是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA,连接OE交AC于点尸,求证：AG=AD；(2)求证：DF=EF;(3)CF=CE,SADG=2,求回。G厂的面积.8.(1)老师在课上给出了这样一道题目：如图(1),等边国ABC边长为2,过AB边上一点P作PE团AC于E,Q为BC延长线上一点，且AP=CQ,连接PQ交AC于D,求DE的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.(2)【类比探究】老师引导同学继续研究：等边国ABC边长为2,当P为BA的延长线上一点时,作PE国CA的延长

5、线于点E,Q为边BC上一点,且AP=CQ,连接PQ交AC于D.请你在图（2）中补全图形并求DE的长.已知等边国ABC,当P为AB的延长线上一点时,作PE回射线AC于点E,Q为哪一个（BC边上；BC的延长线上；CB的延长线上）一点，且AP=CQ,连接PQ交直线AC于点D,能使得DE的长度保持不变.（直接写出答案的编号）910 .在数学综合实践课上，老师给出了下列问题.探究结论在图1中，4，2，点P是两平行线之间的一点，则/尸，ZPAC,归。之间的关系是应用结论在图2中，I1/12,PB平分NABD,ZPAC=30o9若B为等腰三角形，求NF的度数拓展延伸在图3中，/i1点尸是S的中点，NP4C+

6、NF9=90。.试判断AB,AC,8。之间有什么关系，并说明理由.1112 .【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1,在朋BC中，AB=16,AC=IO,求BC边上的中线AO的取值范围.经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延AD至点,使DE=ADf连接BE.勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线并交AO的延长线于点.请结合两个小组提供的方法思考：(1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是；(2)【灵活运用】如图2,在四边形ABC。中，AB0CZ),点E是BC的中点，若AE是团&1O的平分线，试猜想线段AB、AD.OC之间的数量关系，并证明你的猜想；【拓

7、展延伸】如图3,已知AB国CR点E是BC的中点，点。在线段A片上，AB=10,CF=4,DF=6,求证回ED尸=WAE.13 .如图1四边形ABS是平行四边形，点E在边AD上，连接BE,过点。作。尸交BC于点尸,点G,H分别是BE,。尸的中点，连接EH,GF.G图1图2求证：四边形EGFH为平行四边形；(2)若BC=IO,AB=6,0ABC=60；当BG=G尸时，求四边形EGFH的面积：如图2,延长厂G交AB于点P,连接AG,记/APG的面积为Si,/BPG的面积为若刀同AB,求空d2的值.14 .已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合)，分别过A,B向直线CP作垂线，垂

8、足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.如图1当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明;15 .已知点P是RWC斜边AB上一动点（不与点A,5重合），分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为点E,尸，点。为斜边AB的中点.如图，当点尸与点。重合时，AE与B尸的位置关系是,QE与。尸的数量关系是:如图，当点尸在线段AB上且不与点。重合时，试判断。石与。尸的数量关系，并说明理由.（温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）【雨伞模型模型过关练】1 .如图，ABC,AC=BCf0ACB=9

9、Oo,Ao平分团BAC交BC于点D过点B作BE1MD交AO延长线于点,尸为AB的中点，连接CF交AO于点G,连接BG.（1）线段BE与线段AO有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由.23 .如图，0ABC中，AB=AC,BAC=90o,CD平分ACB,BECD,垂足片在CD的延长线上.求证：BE=gcD.4 .已知：如图，在ABC中，ABACfAD平分/BAC,CD1AD于。，E是BC的中点，求证:DE=(AB-AC).56 .已知：ABC中，。为BC的中点，AG平分BAC,CG1AG于G,连结。G,若AB=6,AC=4,求。G的长.78 .如图，ABC中，M为5C的中点

10、，为NBAC的平分线，BD_1AD于O.求证：2DM+AB=AC;(2)若AD=6,BD=S9DM=2,求AC的长.9 .如图，M是0ABC的边BC的中点，AN平分1AC,BNAN于点N,延长BN交AC于点D已知A&10,BC=15,MN=S(1)求证：BN=DN;(2)求0ABC的周长.10 .如图1,在,ABC中，点。是边BC的中点，点石在ABC内，AE平分/SAC,CE1AE,点尸在边AB上，EF/BC.图1图2(1)求证：四边形BDEF是平行四边形.(2)判断线段跳AB.AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.(3)点?是ABC的边AB上的一点，若ADCE的面积S4s=3,请直接写出一DpE的面积(不需要写出解答过程).11 .如图，在ABC中，A石平分于点石，点尸是BC的中点(1)如图1踮的延长线与AC边相交于点。，求证：EF=(AC-AB)(2)如图2,探究线段AB、AC跖之间的数量关系并证明你的结论.1213 .如图1点A是直线MN上一点，点6是直线尸。上一点，且MNPQ.NB和NA5Q的平分线交于点C.(1)求证：BCAC；(2)过点。作直线交跖V于点。(不与点A重合)，交尸。于点E,若点。在点A的右侧，如图2,求证：AD-BE=AB;若点。在点A的左侧，则线段A。、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由.图1图2