专题14 将军饮马问题（原卷版）.docx

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1、专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李顽的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题:将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边让战马饮水后再到B点宿营。问如何行走才能使总的路程最短。模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。A方法：如右图，连接AB,与线段1交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距

2、离。方法：如右图，作点B关于直线1的对称点。连接AB与直线1的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB，的长。模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N,使得APMN周长最小。方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点，、P，连接，P，与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段，P的长。模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看

3、再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N,使得四边形PQNM周长最小。方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点I、Q=连接，Q与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段(PQ+P9)的长。模型一.模型四的理论依据：两点之间线段最短。模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N,求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN1BC,垂足为点N,PN与AB相交于点M,与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段PN的长。模型六：已知点P在直线AB、Be的内侧，

4、在直线AB和BC上分别取一点M、N,求PM+PN的最小值方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点，过点，作P，N_1BC,垂足为点N,P，N与AB相交于点M,与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段，N的长。模型五、模型六的理论依据：垂线段最短。方法：如右图，延长射线AB,与直线1交于点P,PIPA-PB1最大值为AB模型七（两点在同侧）：在直线1上求一点P,求IPA-PBI的最大值模型八（两点在异侧）：在直线1上求一点P,求IPA-PB1的最大值。方法：如右图，作点B关于直线1的对称点B一延长射线AB与直线1交于点P,IPA-PBI最大值为AB，模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边

5、之差小于第三边。模型九在直线1上求一点P,求IPA-PBI的最小值。方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线1相交于点P,IPA-PBI最小值为0。模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN,使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A,连接AB,交n于点N,过点N作MN_1m,垂足为点M,点M和点N即为所求，最短距离为AB+MN模型.线段MN在直线1上可移动，且MN=a,当MN移动到什么位置时，求AM+MN+N

6、B最小值。方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A,作B关于直线1的对称点夕，连接AE,交直线1于点N,将点N向左平移a个单位长度得点M,点M和点N即为所求，最短距离为AB，+MN模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短。【培优训练】1（2023秋广东韶关八年级校考期中）如图，等边三角形ABC的边BC上的高为6,AD是BC边上的中线，是线段AD上的-一个动点，E是AC中点，则河+。以的最小值为.2. （2023广东九年级专题练习）已知点A（11）,3（3,5）,在X轴上的点C,使得AC+5C最小，则点。的横坐标为.3. （2023秋全国八年级专题练习）如图，点夕是/AO

7、B内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线Q4和射线OB上的动点，ZAOB=30,贝UMN周长的最小值是.4.5. （2023秋河南南阳八年级统考阶段练习）如图,等边MBC的边长为4,点E是AC边的中点，点夕是AABC的中线AD上的动点，则EP+CP的最小值是5. （2023春浙江台州八年级校考开学考试）如图，正AZBC的边长为2,过点5的直线且AZBC与C关于直线/对称，。为线段Be上一动点，则/O+CQ的最小值是.6.7. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，在四边形/5CD中，NBCD=5。,NB=ND=90。,在BC、CD上分别取一点M、N,使W的周长最小，则NK4N=.8.9

8、. （2023全国九年级专题练习）如图，/05=45。，角内有一点尸，PO=IO,在角两边上有两点。、R（均不同于点O）,则尸0R的周长最小值是;当尸0E周长最小时，NQ尸R的度数=_.10.11. （2019黑龙江伊春统考中考真题）如图，矩形ABeD中，AB=A,5C=6,点尸是矩形ABCD内一动点,B12. （2023春陕西宝鸡八年级统考期末）如图，在ABC中，AB=AC,BC=4,ABC的面积为12,AB的垂直平分线EF交AC于点尸，若。为5C边上的中点，为线段EF上的一动点，则BDM周长的最小值为.13.14. 如图，ZAOB=30o,点M、N分别在边OA、OB,且OM=1,0N=3,

9、点P、Q分别在边OB、OA,15. （2023秋山东济南八年级济南市章丘区实验中学校考阶段练习）如图，ZUBC中，NzeH=90,AC=BC=%点、D,E分别是45、ZC的中点，在S上找一点尸，连接/尸、EP,当/尸+尸最小时，这个最小值是.16.17. （2023秋江苏盐城八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点4（0,-3）,点O（0,0）,若有一点5（2+1,-2+2）,当JBA+6。的值最小时，a-.18. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，在一条东西向的马路上有广场/和医院C,在各自正北方向上分别有汽车站8和汽车站。，已知ZC=I4km,3=4km,CD=8km,市政府打算在马

10、路/C段之间建造一个加油站尸.（1）若要使得加油站尸到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站尸的位置，并直接写出此时的最小值.（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站尸的位置，并求出此时以的距离.（作图请保留痕迹）BB卜r1jEacac图1图219. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，牧童在离河边3km的4处牧马，小屋位于他南6km东9km的3处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋.他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水。所在在位置（保留作图痕迹）.小河户B小屋20. （2023秋陕西商洛八

11、年级统考期末）如图，点才是将军和马居住的营帐，点3是一块儿指定的草地，一条小河潺潺流过，尸是将军带着马儿喝水的地方，尸点在何处时，将军和马儿走过的路P4+P的值最小.BAP1请在图中画出最短路径，标出点尸的位置；证明这时AP+P最小.21. （2023秋新疆乌鲁木齐八年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1,点B,。都是格点.（1）画出AZBC关于直线MV对称的4A5iG.（2）若3为坐标原点，请写出A、耳、C的坐标，并直接写出AA的长度.（3）如图2,4,C是直线同侧固定的点，。是直线N上的一个动点，在直线N上画出点。，使AD+DC最小.（保留作图痕迹）图1图22

12、2. (2023秋广东广州八年级校考期中)如图，在43C中，AB=AC,是43C底边BC上的中线，点尸为线段43上一点.(1)在/。上找一点,使得尸+助的值最小；(2)若点尸为43的中点，当NAPE满足什么条件时，AZBC是等边三角形，并说明理由.23.24. (2023春河北承德八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系XOy中，A(1,2),B(3,1),C(-2,-1).(1)在图中作出ABC关于X轴的对称图形(2)写出点A，”,C的坐标，并求出ABC的面积；(3)若在X轴上存在点月使AP+成最小，则点夕的坐标为.25. (2023秋内蒙古通辽九年级校考期中)如图，抛物线y=V+C与X轴交于

13、A(1,0),川3,0)两点.求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当X取何值时，J0?设(1)题中的抛物线交轴于。点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得AQAC的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.26. (2023秋全国九年级专题练习)如图，抛物线y=d+c与X轴交于A(I,。)、B(4,0),与轴交于点C(0,3),点。为OC的中点，点、尸分别为X轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接。石、EF、CF,求四边形CDEF周长最小时点、尸的坐标.27.28. (2023春云南红河八年级统考期末)在平面直角坐标系中，矩形纸片49心。按如图方法放置，点/、3分别在

14、歹轴和X轴上，已知CM=2,08=4,点。在边/C上，且4D=1.解答下列问题.(1)点。的坐标为；(2)在X轴上有一点,使得ACQE的周长最短，求出点的坐标及直线CE的解析式.(3)在平面直角坐标系内是否存在点尸，使得以。、D、尸、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.29. （2023全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0,2）,4-2,0）、C（2,2）,点、尸分别是直线AB和X轴上的动点，求ACEF周长的最小值.30.31. （2023江苏泰州校考模拟预测）直线）=-2%+8和双曲线y=1（左WO）交于点A（1机），B（h,2）.求加，几

15、,Z的值；（2）在坐标轴上有一点“，使MA+Ae的值最小，直接写出点的坐标.32. （2023全国九年级专题练习）如图，正方形ABcD的边长为4,尸为对角线BD上的动点,且EF=,连接CE、CF,求ACEF周长的最小值.33.34. （2023秋八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点尸在/AOB内，过点尸分别作关于Q4、05的对称点4、称如图1若ZAo5=25。，请直接写出NqO=；如图2,连接分别交Q4、08于。、D,若NcPD=98。，求ZAOB的度数；在的条件下，若NCpD=。度（90y180）,请直接写出NAog=度（用含。的代数式表示）.（2）【拓展延伸】利用有一个角是60的等腰三角形是等边三角形这个结论，解答问题：如图3,在ABC中，ZBAC=30,点?是ABC内部一定点，A尸=8,点石、尸分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使PEF周长最小的点石、尸的