专题13 焦点三角形的面积公式（解析版）.docx

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1、专题13焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式22在椭圆3+多=1(160)中，F1,尸2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点,abF1PF2=,APF1F2的面积记为SAPRF2，贝I： SAMB=；WBIIyP1=CIyP1 SA尸2=与0用PBISineSAP2=Zan,其中S=N片尸2、双曲线中焦点三角形面积公式22在双曲线=1(100)中，F1,F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点,abZF1PF2=9APK8的面积记为Sap2,贝!1：Sa叼2=gI耳耳I1yP1=CIyP1 SA尸2=gPG111PEISineS上 M110tan2注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面

2、积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题221. (2023湖北天门市教育科学研究院高二期末)已知月、尸2是椭。：+二=1圆的两个43焦点，。是椭圆上一点，ZF1PF2=60,则APEB的面积是()A.3B.2C.-3D.33【答案】D【详解】由椭圆+；=1的方程可得q2=4,62=3,c=1,贝U1WI+M=2=4,因为N甲生=60,则|尸叶+户阊2-2PEHjP阊cos60=闺阊？，即（附明丫-3阀卜陷I=闺q2,即163IWHP阊=4,解得P尸闾=4,因止匕，SPf；F2=PPsin60=4=3.故选：D.另解：根据焦点三角形面积

3、公式，求Sg2=尸tan,其中夕=ZF1PF2,由题意知b2=3,=,代入Sapff=b2tan-=3tan=百61226【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求9解,特别提醒,在圆锥曲线中,定义是解题的重要工具,另外作为二级结论，SAPFF=b2tan-1a2Q要特别注意记忆=ZF1PF2表示的是哪个角.222. （2023吉林吉林高三期末（理）已知尸是椭圆r+%=1（h0）上一动点，F1,F2是椭圆的左、右焦点，当NG尸B=W时，52=43;当线段PF1的中点落到y轴上时,121(82A.B.-1_23j1153j一18、12AC.,7TD.,T121

4、5J|_23j【答案】A【详解】设IPE1=MPEI=%在耳尸B中，当NGPB=A时，由椭圆的定义，余弦定理得:m+n=2a222c(、2整理得：rm=m+-2mncos=2c)3由三角形的面积公式得：Safpf=mzzsin=-=43,解得：b212.F233因为线段P片的中点落到y轴上，又。为耳工的中点，所以尸By轴，即尸乙，.由tan/月尸&=；得微=：解得：I明音，所以尸卜与，r2Qr2代入椭圆标准方程得：+=.erAb又有。2=/片=12,解得：/=16,/=4,所以椭圆标准方程为：+=1.1612所以m+=8.因为a一c相+c,所以2根6.11_11_m+n_8所以两+两R/=T=

5、嬴，f1/1/1，1/1!1/f1/因为加=机(8机)=一机2+8m=-(m-4)2+16,当2zn6时，12rat16,、11_812所以西+西二嬴也与故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求Sg2=tang,其中夕=ZF1PF2,由题意知=9代入公式SAB=/tangn44=/tanWn/=12,又当线段PF1的中点落到y轴上时，tnZF1PF2,可知N片耳。=石，从而有=c,m=-c9Sn=-=-,进3222aa2a=4cry14=422一步有：312=-c所以椭圆标准方程为：一+=1-C=C=I1612、2a所以hz+=8.因为acm+c,所以2m6.1111m+n8所以k网R厂K=

6、嬴因为机=机(8-机)=一机2+8m=-(m-4)2+16,当2m6时，12rat16,11812一所以画+西=嬴在升故选：A.【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.223. (2023安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知双曲线，斗=Is030),过原ab点的直线与双曲线交于A,3两点，以线段A5为直径的圆恰好过双曲线的右焦点尸，若AB尸的面积为2/,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】B【详解】解：设双曲线的左焦点为尸，连接AT,BF,因为以A5为直径的圆恰好

7、经过双曲线的右焦点尸(G0),所以W班圆心为O(0,0),半径为J根据双曲线的对称性可得四边形AZW是矩形，设IA尸I=机，BF=h,n-m=2a贝Ue2=3=e=/3【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即I1A/1-1A/I1=2，结合余Q-弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式2e.tan224.（多选）（2023广东模拟预测）已知双曲线C1=I的左、右焦点分别为百，b，点尸双曲线。右支上，若FPFz=e,APG与的面积为S,则下列选项正确的是（）A.若8=60。,则S=4gB.若S=4,贝U1尸耳|二26C.若为锐角三角形，则Se（4,4）D.若。大

8、用的重心为G,随着点P的运动，点G的轨迹方程为9/浮=1g【答案】ACD【详解】由Y-=1,得q2=1,=4,贝!）=1/=2,c=4一。2_4焦点三角形网区的面积公式二帮,将6代入可知S=41故A正确.当s=4时，e=90,由1),则片Y=I(XO1),由题设知(-5,0),7(5,0),则所以9r/二1,|,故D正确.故选：ACD【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即IIA片|-|ABu=2。，结合余S上弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式29.tan2三、针对训练举一反三一、单选题1. （2023福建漳州高二期末）已知椭圆1+1=1的左、右焦点分别

9、为4、尸2,点夕在椭2516圆上，若耳|=6,则的面积为（）A.8B.82C.16D.162【答案】B【详解】在椭圆言+,=1中，=5,=4,则C=12（2=3,所以，寓闾=2c=6,由椭圆的定义可得IP耳I=2a-|P用=4,取尸工的中点/，因为IW1=IE耳则M耳,工，由勾股定理可得IMEI=PfJ2-PM2=62-22=42，所以，2=PM=442=82.故选：B.2. （2023福建南平高二期末）椭圆两焦点分别为片（3,0）,尺（-3,0）,动点尸在椭圆上,若APfiB的面积的最大值为12,则此椭圆上使得NKP月为直角的点?有（）A.O个B.1个C.2个D.4个【答案】A【详解】解：因

10、为尸EK的面积的最大值时，点尸在短轴的顶点处，所以Spk2=g（2c）2=12,即be=12,又c=3,所以b=4,所以fcc,则N845,所以/产工90,所以此椭圆上使得/耳;第为直角的点夕有。个，故选：A.223. （2023江西鹰潭高二期末（文）椭圆C土+匕=1的焦点为耳，工，点尸在椭圆4924一上，若IM1=8,则APKB的面积为（）A.48B.40C.28D.24【答案】D【详解】22椭圆C+=1的半焦距c=5,长半轴长。=7,由椭圆定义得II=2-1尸片I=6,4924而I与鸟I=IO,且IK5|2=|4|2+|尸耳|2,则有尸百工是直角三角形，SPFE=；IP耳PK=24,所以尸

11、E工的面积为24.故选：D4. （2023安徽省亳州市第一中学高二期末）设用工是椭圆H+2=的两个焦点，夕是椭1224圆上一点，且cos/耳尸乙=J则APE用的面积为（）A.6B.62C.8D.82【答案】B【详解】解：由椭圆工+亡=1的方程可得。2=24,=12,1224所以，=2一片=12,得=26,C=23且归耳|+|尸闾=2=4,闺阊=2c=4g,在尸耳耳中，由余弦定理可得cos/FPFJSI2+|尸月|2一|耳耳|2=（I尸用+|尸乙|）2-2|MI1尸etgb21 22|尸耳|尸B12|尸耳I1尸耳I_4a2-4c2-2PFiPF2_4b2-2PF1PF2_4x1221尸耳尸耳2P

12、FiPF22PF1PF22PF1PF2而COSN斗尸耳二g,所以，IMHP闾=18,又因为，cos=1,所以SinN片PK=乎，所以，SPF1F2=PPsinZP=18=62故选：B5. （2023甘肃永昌县第一高级中学高二期末（理）椭圆二十丁=1的左右焦点为月、尸2,4TT。为椭圆上的一点，ZFiPF2=-,则AP片工的面积为（）A.1B.3C.且D.23【答案】C【详解】点。是椭圆工+y2=上的一点，片、B是焦点，4.|环|+|质1=4,即（附|+|尸局）2=16，.在PF遥中/RPF?,P72+P2-2PPcos=（23）2=12,-得：陶附I=：,S.及%=：囱.|叫S呜=KX亭=字故选：C.226. （2023北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆C：土+匕=1,F1,工分别为它259的左右焦点，A,3分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）4A.离心率e=sB.A用尸工的周长为18QC.直线与直线依斜率乘积为定值-3D.若/。8=90,则AEPB的面积为8