专题16 婆罗摩笈多模型（原卷版）.docx

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1、专题16婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C2）等线段：BC=DCCE=CG3）顶角相等：ZDCB=ZGCE=90o一、基础模型已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG,I、C、H三点共线若点I为中点，则CH1BE,BE=2IC,SADCG=SABCE证明（思路）：延长IC到点P,使PI=IC,连接PG先证明ADICGIP（SAS）,所以De=PG,ZDCI=ZP则DC11PG四边形ABCD、CEFG为正方形.*.DC=BCCE=CGZGCE=ZBCD=90o.*.BC=PG,.ZPGC=180-ZDCG（两直线平行同旁内角互补）ZBCE=360o-90-90-

2、ZDCG=180-ZDCGZPGC=ZBCe贝（Japcgqabec（Sas）Zpcg=ZcebVZPCG+ZECH=180o-90=90.ZCEB+ZECH=90o.,.ZCHE=90.CHBE YAPCG兰ABECPC=BE.BE=2IC SAEBC=SAPCG=Sapg+SagCI=Sadc+SGCI=SADCG【问题二已知垂直证中点】已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG,I、C、H三点共线若CH1BE,则点I为中点，BE=2IC,SADCG=SABCE证明（思路）：分别过点D、G作DM,C1与点M,NG1C1于点NVZ2+Z3=90o，Z1+Z2=90oZ1=Z3由已

3、知条件可得ACDM2ABCH(AAS).*.DM=CHCM=BH同理AGCN至ACEH(AAS).*.NG=CHNC=HE.*.NG=DM再证明ADM12AGN1(AAS).*.DI=IGMI=NI则点I为中点BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC*SABHC=SADMCSAGNC=SACHESADM1=SAGN1JSadcg=SADC1+SAGN1+SACNG=Sadmc+SAGNC=Sabhc+SACHE=SABCE二、变形变形一：如图AAoB、AeoD为等腰直角三角形，连接AC、BD,MN过点0且与AC交于点N、BD交于点M则有如下结论：1)若点N为中点,

4、则MN1BD,2)若MN1BD,则点N为中点3) BD=20N4) SABOD=SAAoC证明(思路)：1)延长MN至点H,使NH=N0,连接HC先证明AANCACNH(SAS),所以Ao=HC,ZAON=ZH贝IJAO11HC再证明AHoe至ABDO(SAS).*.ZCOH=ZODBHO=BD.BD=20N,SABoD=SAAOCVZH+ZDOM=90o.*.ZODB+ZDOM=90o.,.ZOMD=90.,.MNBD2)方法一：构造一线三垂直模型(与问题二证明方法相同)方法二：在BD上截取一点P,使BP=ON,连接OP先证明AANo2OBP(SAS).,.ZANO=ZBPOAN=OPON=

5、BP再证明ANOcAPDO(SAS).,.NC=OPON=PD.*BD=20N,SABOD=SAAOC变形二：如图AAOB、ACoD为等腰直角三角形，连接AC、BD,MN过点0且与AC交于点N、BD交于点M则有如下结论：1）若点N为中点，则MN1BD,2）若MN1BD,则点N为中点3） BD=20N4） SABOD=SAAoC证明（自行证明）：1）延长ON至点H,使ON=NH,连接AH2）在BD上截取DH=ON,连接OH1. （2023秋重庆八年级重庆市大学城第一中学校校联考期中）如图，在锐角二A5C中，是5C边上的高,分别以AB、AC为一边，向外作等腰RtAABD和等腰Rt.ACE其中NB4

6、D=NC4E=90。，连接BE、DE.DC,。石与E4的延长线交于点G,下列5个结论：BE=DC;BEDC；（3）AE=EG;NDAG=NABC；=其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个2. （2023春四川自贡八年级校考期中）如图，在锐角三角形力BC中，48是BC边上的高，分别以45,/C为一边，向外作正方形ZADEACFG,连接C,BGEG,EG与孙的延长线交于点M下列结论:BG=CE;BG团。；ZM是蜘EG的中线；EAM=ABC,其中正确结论是（）A.B.C.D.3. （2023浙江温州校考一模）如图，在.ABC中以ACIC为边向外作正方形AeFG与正方形BCDE,连结DF,并

7、过。点作CH1AB于H并交ED于若NACB=I20,AC=3,5。=2,则MD的长为（）.A.立B.2C.-D.3224. （2023秋浙江温州九年级温州市第十二中学校考阶段练习）如图，在.1BC中，ZA=90o,ABACf分别以.ABC的三边为边向外作三个正方形AB。石，ACGFfBCHI,延长小，交边DE于点J,连接/,分别交边AB,BC于点V,N,已知MN=逐，CH=8,则正方形ACG/的边长为（）R5. （2023秋吉林长春八年级校考阶段练习）在锐角三角形45。中，ZH是BC边上的高，分别以45,AC为一边，向外作正方形/3。和ZCFG,连接C,BGEG,EG与孙的延长线交于点下列结论

8、：BG=CE;（2）BGCE;ZM是蜘EG的中线；EAM=ABC,其中正确结论的个数是（）DxZZfBHCA.4个B.3个C.2个D.1个6. （2023秋八年级课时练习）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：BG=CE;BG团CE；AM是团AEG的中线；回EAM=回ABC.其中正确的是.7.8. （2023湖北武汉统考中考真题）如图，在Rt.ABC中，NACB=90。，AOBC,分别以ABC的三边为边向外作三个正方形ABH1，ACDE,BCFG,连接D分.过点。作A5的垂线

9、C7,垂足为J,分别交。方，1H于点/,K.若C=5,C7=4,则四边形AZK1的面积是.9.10. （2023秋四川南充八年级四川省南充高级中学校考期末）如图，以二ABC的两边AB,AC为边向形外作正方形ABEF,ACGH,则称这两个正方形为外展双叶正方形.有以下5个结论：二ABC面积与477/面积相等.过点A作边5C的垂线交FH于点。，则FD=HD.。为边5。的中点，Q4延长线与加1交于点P,则AP1H/且5=249.连接尸。、/汨相交于点火，则/C=且方dffi.连结G,S为EG的中点，则SB=SC且SB1SC.其中正确的结论是（填序号）.11.12. （2023黑龙江鹤岗统考中考真题）

10、以RtABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABQ石和正方形AeFG,连接G,过点A作AM1HS于，延长跖1交6于点N.(1)如图1若NBAC=90。，AB=AC,易证：EN=GN;（2）如图2,ZBAC=90；如图3,ZBAC90,（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.13. （2023福建统考模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边.要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE团BC于点E,并延长EP与AD交于点F,不写作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程.

11、I1（2023全国九年级专题练习）如图，在朋BC外分别以ZC为边作正方形ZADE和正方形ZCFG,连接G,ZM是蜘BC中BC边上的中线，延长交EG于点H.(3) EG2-BC2=2(AB2+AC2).12. （2019秋湖北十堰九年级校联考期末）已知，国ABC中，BC=6,AC=4,M是BC的中点，分另IJ以AB,AC为边向外作正方形ABDE,正方形ACFG,连接EG,MA的延长线交EG于点N,（1）如图，若团BAC=90。，求证：AM=G,AM回EG；将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，中结论是否仍然成立？请说明理由；13. 将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B,C,F三点在一条直线上，

12、请画出图形，并直接写出AN的长.14. (2019春江西新余九年级新余四中校考阶段练习)如图，分别以-ABC的边AB,AC为腰向外作等腰RtABO和等腰RtACE,连DE,AF是VAr史的中线.(1)知识理解：图所示，当AB=AC时，则AF与BC的位置关系为,数量关系为；(2)知识应用：图所示，当ABAC时，M,N分别是BC,DE的中点，求证：AV_1D石且。E=2AV；(3)拓展提高：图所示，四边形ABcD中，ADBC,ABCDf分别以边A3和CD为腰作等腰Rt.ABE和等腰H心C,连EF,分别取A。、口的中点H、G,连G.求证：GHBC;直接写出AD,BC,GH之间的数量关系.15. （2

13、023秋河南新乡九年级统考期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形.CE上直线/,垂足分别为AB（1）如图1在。中，回A4C=90。，-=,直线/经过点/,瓦勃直线/,ACD、E.求证：=k.AE（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2,将（1）中的条件做以下修改：在-ZBC中，=鼠D、/、E三点都在直线/上，并且有勖D4=MEC=WC=,其中为任意AC锐角或钝角.请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,在一/劣。中，沿.ABCAf

14、i（1的边/3、ZC向外作矩形/3。E和矩形/CFG,=ZH是BC边上的高，延长血交EG于点AEAG2/.求证：/是EG的中点.直接写出线段BC与/之间的数量关系：.16. （2019安徽合肥校联考一模）如图，在aZBC中，分别以45、ZC为腰向外侧作等腰RtDg与等腰RtZ4EC,ZDAB=ZEAC=90o,连接。C、5相交于点。（1）求证：BE工DC；(2)若BE=BC.GF如图1G、尸分别是。夙EC中点，求的值.BC如图2,连接。4,若04=2,求aOOE的面积.17.18. （2023春陕西西安七年级西安市铁一中学校考期末）（1）猜想发现如图1,已知43C,分别以45和ZC为边向外作正方形/加力和正方形ZCG,连接。.设AZHC的面积是S,DE的面积是S?,猜想S和Sz的数量关系为.（2）猜想论证如图2,已知ANBC,分别过点/作线段4D和/,满足皿45+国E4C=180。，并且4D=C,AE=AB,连接。.设AZHC的面积是S，,D的面积是S2，（1）中S和S2的数量关系是否仍然成立？请说明理由.（3）拓展探究如图3,点。是锐角朋BC角平分线上的一点，满足3。=。，点在BC上，且。0De请问在射线A4上是否存在点尸，使得SABDE=SACDF,如果存在，请确定点尸的位置并证明；如果不