专题13 焦点三角形的面积公式（原卷版）.docx

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1、专题13焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式22在椭圆3+多=1(160)中，F1,尸2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点,abF1PF2=,APF1F2的面积记为SAPRF2，贝I： SAMB=；WBIIyP1=CIyP1 SA尸2=与0用PBISineSAP2=Zan,其中S=N片尸2、双曲线中焦点三角形面积公式22在双曲线=1(100)中，F1,F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点,abZF1PF2=9APK8的面积记为Sap2,贝!1：Sa叼2=gI耳耳I1yP1=CIyP1 SA尸2=gPG111PEISineS上 M110tan2注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面

2、积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题221. (2023湖北天门市教育科学研究院高二期末)已知月、尸2是椭C:土+21=I圆的两个43焦点，。是椭圆上一点，ZF1PF2=60,则APEB的面积是()A.3B.2C.-3D.33【答案】D【详解】由椭圆+；=1的方程可得q2=4,62=3,c=1,贝U1WI+M=2=4,因为N甲生=60,则|尸叶+户阊2-2PEHjP阊cos60=闺阊？，即（附明丫-3阀卜陷I=闺q2,即163IWHP阊=4,解得P尸闾=4,因止匕，SPf；F2=PPsin60=4=3.故选：D.另解：根据焦点三角形

3、面积公式，求Sg2=尸tan,其中夕=ZF1PF2,由题意知b2=3,=,代入Sapff=b2tan-=3tan=百61226【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求9解,特别提醒,在圆锥曲线中,定义是解题的重要工具,另外作为二级结论，SAPFF=b2tan-1a2Q要特别注意记忆=ZF1PF2表示的是哪个角.222. （2023吉林吉林高三期末（理）已知尸是椭圆r+%=1（h0）上一动点，F1,F2是椭圆的左、右焦点，当NG尸B=W时，52=43;当线段PF1的中点落到y轴上时,121(82A.B.-1_23j1153j一18、12AC.,7TD.,T1

4、215J|_23j【答案】A【详解】设IPE1=MPEI=%在耳尸B中，当NGPB=A时，由椭圆的定义，余弦定理得:m+n=2a222c(、2整理得：rm=m+-2mncos=2c)3由三角形的面积公式得：Safpf=mzzsin=-=43,解得：b212.F233因为线段P片的中点落到y轴上，又。为耳工的中点，所以尸By轴，即尸乙，.由tan/月尸&=；得微=：解得：I明音，所以尸卜与，r2Qr2代入椭圆标准方程得：+=.erAb又有。2=/片=12,解得：/=16,/=4,所以椭圆标准方程为：+=1.1612所以m+=8.因为a一c相+c,所以2根6.11_11_m+n_8所以两+两R/=

5、T=嬴，f1/1/1，1/1!1/f1/因为加=机(8机)=一机2+8m=-(m-4)2+16,当2zn6时，12rat16,、11_812所以西+西二嬴也与故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求Sg2=tang,其中夕=ZF1PF2,由题意知=9代入公式SAB=/tangn44=/tanWn/=12,又当线段PF1的中点落到y轴上时，tnZF1PF2,可知N片耳。=石，从而有=c,m=-c9Sn=-=-,进3222aa2a=4cry14=422一步有：312=-c所以椭圆标准方程为：一+=1-C=C=I1612、2a所以hz+=8.因为acm+c,所以2m6.1111m+n8所以k网R厂

6、K=嬴因为机=机(8-机)=一机2+8m=-(m-4)2+16,当2m6时，12rat16,11812一所以画+西=嬴在升故选：A.【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.223. (2023安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知双曲线，斗=Is030),过原ab点的直线与双曲线交于A,3两点，以线段A5为直径的圆恰好过双曲线的右焦点尸，若AB尸的面积为2/,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】B【详解】解：设双曲线的左焦点为尸，连接AT,BF,因为以A5为直径的圆

7、恰好经过双曲线的右焦点尸(G0),所以W班圆心为O(0,0),半径为J根据双曲线的对称性可得四边形AZW是矩形，设IA尸I=机，BF=h,n-m=2a贝Ue2=3=e=/3【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即I1A/1-1A/I1=2，结合余Q-弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式2e.tan224.（多选）（2023广东模拟预测）已知双曲线C1=I的左、右焦点分别为百，b，点尸双曲线。右支上，若FPFz=e,APG与的面积为S,则下列选项正确的是（）A.若8=60。,则S=4gB.若S=4,贝U1尸耳|二26C.若为锐角三角形，则Se（4,4）D.若

8、。大用的重心为G,随着点P的运动，点G的轨迹方程为9/浮=1g【答案】ACD【详解】由Y-=1,得q2=1,=4,贝!）=1/=2,c=4一。2_4焦点三角形网区的面积公式二帮,将6代入可知S=41故A正确.当s=4时，e=90,由1),则片Y=I(XO1),由题设知(-5,0),7(5,0),则所以9r/二1,|,故D正确.故选：ACD【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即I1A片|-|ABiI=2即结合余S上弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式2一.tan2三、针对训练举一反三一、单选题1. （2023福建漳州高二期末）已知椭圆盘+=1的左、右焦点分

9、别为4、尸2,点尸在椭2516圆上，若耳|=6,则的面积为（）A.8B.82C.16D.1622. （2023福建南平高二期末）椭圆两焦点分别为片（3,0）,月（-3,0）,动点尸在椭圆上，若APAB的面积的最大值为管，则此椭圆上使得N4P鸟为直角的点F有（）A.0个B.1个C.2个D.4个223. （2023江西鹰潭高二期末（文）椭圆C+21=I的焦点为月，F2,点P在椭圆4924上，若|幽|=8,则耳工的面积为（）A.48B.40C.28D.24224. （2023安徽省亳州市第一中学高二期末）设耳工是椭圆+乙=1的两个焦点，夕是椭1224圆上一点，且CQSNKP6=g.则APEB的面积为

10、（）A.6B.62C.8D.825. （2023甘肃永昌县第一高级中学高二期末（理）椭圆工十丁=1的左右焦点为月、尸2,4TT?为椭圆上的一点，ZF1PF2=-,则APGB的面积为（）A.1B.3C.且D.23226. （2023北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆C：+-=1,F1,工分别为它的左右焦点，A,5分别为它的左右顶点，点?是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是4A.离心率e=MB.月尸工的周长为18QC.直线与直线P8斜率乘积为定值-最D.若NF1PF2=90,则AE尸工的面积为8227. （2023黑龙江大庆中学高二期末）已知片，鸟分别为椭圆Ur+%=1（4h0）的左右焦点

11、，。为坐标原点，椭圆上存在一点P,使得2OH=I4片设A1P工的面积为S,若S=（I咫HP周）2,则该椭圆的离心率为（）A.-B.IC.显D.立32238. （2023山西运城高二期末）已知点月、B是双曲线二-（=1（O,AO）的左、右焦点，以线段4B为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为?，若IP娟=3|尸耳贝U（）1. I尸团与双曲线的实轴长相等8. APEB的面积为C.双曲线的离心率为3D.直线3x+2y=。是双曲线的一条渐近线229. （2023内蒙古赤峰高三期末（理）已知双曲线土-乙=1的两个焦点为4，F2,P为916双曲线上一点，PBMB,“耳工的内切圆的圆心为/,则典I=（）234

12、r34r334n34332210. （2023广东执信中学高三阶段练习）已知双曲线C的离心率为百,耳,凡是C的两个焦点，P为C上一点，IMI=3|尸闾，若APEB的面积为，则双曲线C的实轴长为（）A.1B.2C.3D.4211. （2023广西玉林模拟预测（文）已知双曲线C21=I的左，右焦点为用工，P2一为双曲线右支上的一点，N尸EB=30。，/是尸不；的内心，则下列结论错误的是（）A.A尸耳工是直角三角形B.点/的横坐标为1C.P=23-2D.AP4K的内切圆的面积为万12. （2023天津和平高二期末）双曲线34=1的两个焦点分别是GK,点。是双曲线Io9上一点且满足NP&=60,则AKP工的面积为（）A.253B.163C.93D.332213. （2023全国高三专题练习）F是双曲线“：土21=I右支上的一点，F1,工是左，45右焦点，P闾=4,则APf；工的内切圆半径为（）45r21593r215n1593