专题09 倍长中线模型（原卷版）.docx

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1、专题09倍长中线模型倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形（SAS）,并将已知条件中的线段和角进行转移。A倍长中线模型模型：【倍长中线】已知点D为AABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE/1)连接EC,贝IJAABDWAECD,ABZzCE2)连接BE,贝IJAADC至AEDB,ACBE证明：C点D为AABC中BC边中点.*.BD=DC在AABD和AECD中AD=EDZ1=Z2JAABD至AECD(SAS)一/力/0EA，5,E：.ZABD=ZECdABCEBD=DC在AADC和AEDB中AD=E

2、DZADC=ZBDe.ADCEDB(SAS)BD=DC【倍长类中线】已知点D为AABC中BC边中点ZEBD=ZACd/.ACzBEA，延长线段DF到点E使DF=DE,/连接EC,则ABDaACDE【基础过关练】1 .在AABC中，AC=6,中线AD=IoA.16AB22B.14AB262 .如图，iABC,AB=4,AC=2,ABD、/c，则AB边的取值范围是（）C.16AB26D.14AB22点。为BC的中点，则AO的长可能是（）A.1B.2C.3D.43 .如图，在aABC中，AB=6,AC=10,Be边上的中线AD=4,则4ABC的面积为（）A.30B.24C.20D.484 .如图，A

3、4BC中，。是AB的中点，CD：AC：BC=1：2：23,则N58=5 .如图，在ABC中，。是5C上一点，连接A。，已知CD=AB,ZBAD=ZBDA,AE是ABD的中线.求证：AC=IAE.6 .如图，在“1BC中，AB=AC,BE是AC的中线，点。在AC的延长线上，连接BC平分NEBD.求证：ZABE=ZD;求证：BD=2BE.7 .如图所示，AO为ABC的角平分线，E,尸分别在BRAD上，DC=DE,若EF/AB.求证：EF=AC.78 .如图，已知AP/5C,点E1是。的中点，且4）+5C=AB,求证：AEVBE.【提高测试】1 .如图，在四边形ABcD中，AB/CD,ABBD,AB

4、=5fBD=4,CD=3,点E1是AC的中点，则的长为（）.C.52 .如图，ABC中，。为BC的中点，点E1为BA延长线上一点，。尸_1DE1交射线AC于点方，连接EF,A.BE+CFEFD.以上都有可能则BE+CF与EF的大小关系为（）3 .在CABeF中，BC=2AB,CD_1AB于点。，点E1为AF的中点，若NADE=50。，则/5的度数是（）A.50oB.60oC.70oD.80o4 .如图，在等腰直角三角形A5C中，ZC=90o,AC=8,尸为AB边的中点，点O,E分别在边上运动，且保持AD=CE,Q姜DE,DF,EF.在此运动变化的过程中，下列结论：DEF是等腰直角三角形；四边形

5、CDEE的面积保持不变；AD+BEDE.其中正确的是（）A.BQC.D.5 .如图，在平行四边形ABcD中，CD=2AD=8,E为AD上一点，尸为。的中点，则下列结论中正确的是（）A.BF=4B.2BCC.ED+BC=EBD.S四边形DEBC=2Syefb6 .如图，DEABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若ACEF的面积为12cm2,则SMgf的值为（）A. 4cm2B. 6cm2C. 8cm2D. 9cm27 .如图,在.ABC中，AD为5C边的中线,E为AD上一点,连接鲂并延长交AC于点F,若/AEF=NFAE,89 .如图，已知Ao是aABC的中线，E是AC上的一

6、点，BE交AD于F,AC=BF,NQAC=24,ZEBC=32,则NACB=.10 .如图，ABC中，点。在AC上，AD=3,AB+AC=10,点石是BD的中点,连接CE,NACB=NABC+2N6CE,贝IJCD=.10.如图，AB=AE,ABAE,adAC,AD_1AC,点M为5C的中点，4M=3,DE=1213 .如图，平行四边形ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,NFAD=60。，AE平分NFAD,交CD于点E,且点E是CD的中点，连接EF,已知AD=5,CF=3,则EF=1415 .(1)如图1,在AABC中，AB=4,AC=6,AD是BC边上的中线，延长AD到点E使OE1=AO

7、,连接CE,把AbAC,2AO集中在AACE中，利用三角形三边关系可得AO的取值范围是；(2)如图2,在AABC中，AD是BC边上的中线，点,尸分别在AB,AC上，_SDE1DF,求证：BE+CFEF;(3)如图3,在四边形ABS中，NA为钝角，NC为锐角，ZB+ZADC=180o,DA=DC-WE,尸分别在BCAB,且NE。尸=；NAOc连接EF试探索线段A尸，EF,CE之间的数量关系，并加以证明.1617 .已知：如图，在aA5C中，。是BC中点，石是AB上一点，尸是AC上一点.若NEDF=90。,且B/+FC2=EF2f求证：ZBAC=90.18 .已知：如图，在ABC中，ZC=90,。

8、为AB的中点，E、尸分别在AC、BC,且ED_1FD于O.求证：AE1+BF2=EF1.1920 .阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，点E是BC的中点，点A在OEI上，且NBAE=NCDE.求证：ABCD.分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.如图1延长。E到点尸，使EF=DE,连接B尸；如图2,分别过点B

9、、C作5尸_1。,CG1DE,垂足分别为点尸，G.(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.A21 .如图，ABC中，AC=2AB,AD平分NBAC,延长CB至IJ点E,使BE=BD,连接AE.（1）依题意补全图形；（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明.22 .如图，已知AD是，ABC的中线，过点B作BE_1AD,垂足为E.若BE=6,求点C到AD的距离.问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,AABC中，若AB=4,AC=3,求BC边上的中线AO的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO到点,使DE=AD,则得到AAOCgA

10、EDB小明证明aBEDZZCW用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以4A5C的边AB,AC为边向夕卜作石和4ACD,AB=AE,AC=AO,ZBAE=ZCAD=90o,M是BC中点，连接AM,DE.当AM=3时，求OE的长.23 .如图，AB=AE,ABAE,AD=AC,DE=2AM,点M为BC的中点，连接AM.求证：ADAC24 .如图，AB=AE,ADACfNBAE+ND4C=18（T,点尸为。石的中点，求证：BC=2AF.25 .如图，分别以ABC的边向外作正方形A5尸G和ACDE连接石G,若。为石G的中点,求证：（1）AO=-BC;2AO1BC.