专题11 截长补短模型（原卷版）.docx

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1、专题11截长补短模型模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。图解：已知线段AB、CD、EF,简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法截长法补短法截长法：在线段AB上，截取AG=CD,判断线段GB和线段EF长度是否相等补短法：延长线段CD至点H,使DH=EF,判断线段AB和线段GH长度是否相等【过关练】1（2023秋糊北黄石八年级黄石八中校考期中）如图，酎BC中，助二2的，姐Cg的平分线CD交48于

2、点D,已知ZC=I6,BC=9,则3。的长为（）2 .如图，在ABC中，AD平分4C,ZB=2ZADB,AB=5,CD=6,则AC的长为（）B.9C.113 .如图，团ABC中，AB=AC,D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE,且回D+回E=180。，若BD=6,贝IJCE的长为45 .如图，ABC中，A。平分B4C,ZC=20o,AB+BDAC,则/6的度数为67 .（2023秋八年级单元测试）如图，已知AABC中，NA=60。，D为AB上一点，AC=2AD+BD,ZB=AAACD,则NDCB的度数是.89 .如图，在AABC中，回ACB=团ABC=40。，BD是国ABC的角平分

3、线，延长BD至点E,使得DE=DA,贝幅ECA=1011 .（2023秋全国八年级专题练习）如图，在中，AC=SCA。平分交BC于点。，若AC+CD=AB,求/C的度数.1213 .如图，已知四边形ABCD中，AD团BC,若回DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分团ABC,14 则AB的长与AD+BC的大小关系是（）15 .已知：如图所示，四边形ABCD中，AD5C。是CD上一点，且Ao平分50平分/ABC,若AO=3,50=4,求四边形ABcD的面积.16 .（2023秋福建福州八年级校考阶段练习）如图，在四边形/BCD中，DAB=BCD=90o,AB=ADfD.4217 .

4、（2023秋江苏无锡八年级统考期中）如图，ABC与AADC有一条公共边AC,且AB=AD,0ACB=0ACD=x,18 贝幅BAD=.（用含有X的代数式表示）19 .（2023秋广东佛山八年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）如图，在等腰附5C中，AB=AC,回A4O120。，点D是线段BC上一点,0ADC=9O。，点尸是A4延长线上一点，点O是线段AD上一点，O尸二OG下面的结论：(1)APO=BACO;(2)BAPO-W)CO=30o;(3)AC=AO+AP；Po=PC,其中正确的有.20 .（2023秋浙江八年级专题练习）（1）如图（1）,在四边形ABcD中，AB=ADfZB-hZD

5、=180,E,F分别是3C,CD上的动点，KEAF=ZBAD,求证：EF=BE+DF.（2）如图（2）,在（1）的条件下，当点,厂分别运动到的延长线上时，EFIB。方之间的数量关系是.图（1）图（2）21 .如图，AABC是等边三角形，ABDC是顶角团BDe=I20。的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA22 延长线上一点，且国MDN=60。.试探BM,MN,CN之间的数量关系，并给出证明.23 .（2023全国九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.【解决问题】如图，点、尸分别在正方形ZBCQ的边3C、CQ上，ZEAF=45

6、,连接尸，则石F=bE+DF,试说明理由.证明：延长CQ到G,使DG=BE,在/ABE与AADG中，AB=ADZB=ZADG=9QoBE=DG团ZkAB石会ZkADG理由：（SAS）进而证出：AAFE经，理由：（）进而得即=5石+”.【变式探究】如图，四边形/BCZ）中，AB=AD,NB4。=90。点、尸分别在边5C、CQ上，ZEAF=45o,若/3、/D都不是直角，则当/5与/。满足等量关系时，仍有EF=BE+”.请证明你的猜想.【拓展延伸】如图，若AB=AD,ZBAD90ofZEAF45ofZEAF=BAD,ZB=ZD=90。，连接尸，请直接写出EF,BE、。尸之间的数量关系.（2023秋

7、江苏八年级专题练习）在等边三角形45C的两边/5、ZC所在直线上分别有两点M、N,P为朋BC外一点，且IWZW=60。，回6尸C=I20。，BP=CP.探究：当点M、N分别在直线45、ZC上移动时，BM,NC,TW之间的数量关系.答：.（请在空格内填一定成立不一定成立或一定不成立）.如图，当点M、N分别在边/8、。的延长线上时，请直接写出,NC,TW之间的数量关系.24 .（2023秋浙江八年级专题练习）如图，四边形ABcD中，ZB+ZD=180o,NBCD=I50。,CB=CD,25 M、N分别为48、4。上的动点，且NMCN=75。.求证：MN=BM+DN.26 .（2023秋江苏八年级专

8、题练习）（1）问题背景：如图1：在四边形/5CD中，AB=AD,WO=I20。,回8=0ADC=90。，E、尸分别是BC,C。上的点且回4F=60。，探究图中线段3、EF、/力之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长尸。到点G.使。G=B.连结/G,先证明ABEADG,再证明AEFAGF,可得出结论，他的结论应是；（2）探索延伸：如图2,若在四边形45。中，AB=AD,05+0D=18Oo.E,尸分别是BC,CO上的点,且回尸=团A4。，上述结论是否仍然成立，并说明理由;（3）实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的4处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的

9、3处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测至IJ甲、乙两地分别到达、尸处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.27 .如图，_ABC是等边三角形，ZBAD+ZBCD,BD=8,CD=2,则AD=28 .（2023全国九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.（1）如图1刻8C是等

10、边三角形，点。是边BC下方一点，5nC=120o,探索线段D4、DB、。之间的数量关系.解题思路：将朋AD绕点/逆时针旋转60。得到朋C,可得/CE=BD,ABD=ACEfI1Dz=60。,根据国A4C+QC=I80。，可知蜘皿+蜘CZ)=I80。，贝IJ匿4CE+的CD=I80。，易知朋QE是等边三角形，所以AD=DEf从而解决问题.根据上述解题思路，三条线段。4、DB、。之间的等量关系是；(2)如图2,火就43C中，0C=9Oo,AB=AC.点。是边BC下方一点，BDC=90o,探索三条线段。4、DB、。之间的等量关系，并证明你的结论.21(2023全国九年级专题练习)如图1,在RtABC

11、中，回ABC=90。，BA=BC,直线MN是过点A的直线CD国MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作BE团BD,交MN于点E,进而得出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸22. 在直线MN绕点A旋转的过程中，当团ABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写BD的长.23. (2023秋江苏八年级专题练习)在aABC中，NABC=60。，点。、E分别在AC、BC上,连接助、。石和A石；并且

12、有AB=B石，ZAED=AC.(1)求NCD石的度数；(2)求证：AD+DE=BD.24. (2023秋江苏八年级专题练习)如图，在酎BC中，AB=AC,WC=30。，点。是朋BC内一点，DB=DC,0DC5=3Oo,点是3。延长线上一点，AE=AB.(1)求助Qg的度数；(2)线段。,AD,。之间有什么数量关系？请说明理由.24.如图，在酎BC中，AB=BC,朋BC=60。，线段/C与4D关于直线/尸对称，是线段AD与直线4P的交点.(1)若血4=15。，求证：胡皿是等腰直角三角形；(2)连CE,求证：BE=AE+CE.25. (2023秋全国八年级专题练习)在ABC中，(1)如图1,若/3

13、=60。.直接写出NARS的大小；求证：AC=AD+CE.(2)若图2,若？B90?,求证：ACFSAAFD+SceF+S丛DEF26. (2023秋浙江八年级专题练习)如图ABC中YCPAE,CD为ABC的角平分线，AE,CZ）交于点尸.BBZ图C图2,NABC=60,AD,CE分别平分NBAC、AACB,AD,CE相交于点P.(1)求NCPQ的度数；(2)求证：AE+CD=AC27.(2023秋全国八年级期末)(1)阅读理解ZA+ZC=180.求证：DA=DC.思考：“角平分线+对角互补可以通过截长、DDc：问题：如图1在四边形ABCD中，对角线5D平分NABC,补短等构造全等去解决问题.

14、方法1在BC上截取BM=&1,连接。暇，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长B4到点N,使得5N=5C,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题.结合图1,在方法1和方法2中年选7种，添加辅助线并完成证明.(2)问题解决：如图2,在(1)的条件下，连接AC,当NMC=60。时，探究线段A5,BC,BD之间的数量关系，并说明理由；(3)问题拓展：如图3,在四边形ABS中，ZA+ZC=180o,DA=DC,过点。作。石，6C,垂足为点E,请直接写出线段AN、CE、BC之间的数量关系.图2图328. 等边ABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH,连接AH、BK交于点F.(1)如图1求

15、NAT中的度数；(2)连接C/，若NBFC=90。,求丁的值;(3)如图2,若点G为AC边的中点，连接/G,S,AF=2FG,则NBFG的大小是29. (2023全国八年级专题练习)如图，ABC是等边三角形，点。、石分别是射线A5、射线CS上的动点，点。从点/出发沿着射线AB移动，点从点3出发沿着射线BG移动，点。、石同时出发并且移动速度相同，连接CD、DE.(1)如图，当点。移动到线段AB的中点时，。石与。C的长度关系是：DEDC.(2汝口图，当点。在线段A5上移动但不是中点时，探究。石与。C之间的数量关系，并证明你的结论.(3汝口图，当点。移动到线段A5的延长线上，并且即，。C时，求/OEe的度数.30. (2023春山东德州八年级校考阶段练习)数学课上，李老师提出问题：如图