专题07 经典超越不等式（解析版）.docx

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1、专题07经典超越不等式一、结论对数形式：X1+Inx(x0),当且仅当X=I时,等号成立.(2)指数形式：/%+1(%R),当且仅当X=0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：xx+1x1+1nx(x0x1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：丫2丫3丫+11n(1+x)=X+(1)+o(xn+1)；23+1截取片段：exx+1(xR)1n(1+%)%(%-1),当且仅当X=O时,等号成立；进而：InXVX1(x0)当且仅当X=I时,等号成立二、典型例题1(2023江苏苏州高三期末)已知”b+11则下列不等式一定成立的是()A.b-chB.abT1 1abb+1ez,171C.D.Q+

2、1nbb+1nQa-1Ina【答案】c【解析】取=10=8,贝|妆_4，故A选项错误；取=3,b=1,+-=+y,贝IJB选项错误；3ab取a=3,Z?=1,贝!j+1nb=3,+16z=1+13/?+In”,故D选项错误；关于C选项，先证明一个不等式：ex+1,令y=e。X-1,y=ex-1,于是xo时yo,递增；0时y有极小值，也是最小值e-0-1=0,于是y=e“7-10,当且仅当x=0取得等号，由1%+1,当x-1时，同时取对数可得，x1n(x+1),再用1-1替换元，得至Ux11nx,当且仅当=1取得等号，n_1U_|_17I1Pb由于1b+11,得至InaVa-1,1,即-1),同

3、样可以变形使用：%1n(x+1)(x-1)x-11nx(xO)左右两边同乘以?一-n(0)；1用“匕替换“%”1-11-x0)1-1-(0)1InX=0,都有/(x)。，求实数。的取值范围；(2)若。、O,且“+b=1,求证：对任意x0,都有：ex(1+ax)(1+bx).【答案】01(2)证明见解析【解析】(1)由x0时：f(x)=ex-1-ojc0又：fx)=ex-af若11时，由x0,故e1,所以对任意x0,者K有：fx)=ex-aO此时函数g(x)在(0,+8)上单调递增，故对任意x0,都有：尤)=，-1ax(0)=0满足条件.若时，由x0,故：*(x)=e-=0nx=1n1故可得：X

4、(o,1)Ina(1,+)-0+/(x)、极小值故函数/(x)在(Una)上单调递减，在(Ina,y)上单调递增，故：/(Ina)V/(O)=O不满足条件VcO,都有力。,综上，实数。的取值范围为11.由(1)可知，当=1时，对任意x0,都有：f(x)=ex-1-x0f故对任意x0,都有：ex1+xf又。、Z?0,故对任意x0,者K有：eax1+axOebx1+te0又+b=1,故：ebx=eax+bx=a+b)x=(1+6ix)(1+bx)故对任意x0,都有：ex(1+)(1+x).【反思】注意在解答题中ex1+x不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.三

5、、针对训练举一反三一、单选题1. (2023广东韶关一模)已知。=esmi=sin1,c=Cos1,贝U()A.acbB.abcC.cbaD.cacosx,又1-7,-r,所以sin1cos1,故bc44)44)记/(x)=e=x1,所以r(x)=e=1,令(x)0,得0,得0,所以“X)在(-8，。)单调递减，在(0,+X)单调递增.所以/(x)(0)=0,BPe-x-1O,当X=O时取等号.所以a=esh111(sin1-1)+1=sin1=b,所以ch0,1nxx-1;命题4：VxR,e1则下列命题中为真命题的是()b.PAqa.FR【答案】A【详解】令=111%+1且定义域为(0,+0

6、0),则y,=-1,所以(U)上y。，y递增；(i,+)y1n(x+1)(x-1)【答案】D【详解】对于A：令/(x)=ex-(x+1),m=ex-,所以当%0时，-(X)o,/(X)单调递增,当o时，ro,/(%)单调递减，所以/(X)J(O)=O,所以.x+1,所以e+2.+3,故A正确;对于B：令/(x)=X2-Inx,所以在(O,孝)上，(x)o,/单调递增，2所以/(x).J(*)=(丰)2In()=；In丰=InaIn等0,所以In%,所以(X+1)21n(x+1),(x-1),故B正确；对于C：令/(x)=1n%-(%-1),当了时，r0,/(X)单调递增，所以/(%),(1)=

7、0,所以In%(%1),0,所以Inx),%-1,所以In(X+2),x+1,故C正确；对于D：取X=%,得H=(x+1),(x)A.OB.1C.2D.3【答案】D【详解】对于，令=1,Jf(X)=-1,则/(%)在(-8,。)上递减，在(0,+上递增，AU(O)=O,xER,ex-x-1O,即%+1,正确；由%+1知，ex(xO)恒成立，则有IneXT1nx,即x11nx成立，正确；对于，令z(x)=g(xe),1(X)=匕”xe,贝U电山(+0(+1)1xX1n(X+1)oInxx+11(+1)x,Xx+1所以有一(x+1)%Ge),正确.故选：D5. (2023黑龙江哈尔滨(理)下列四个

8、命题中的假命题为()A.VxA,exx+1B.VxA,ex-x+111C.3x0O,Inx0x0-1D.3x0O,In%0-1【答案】C【详解】构造函数/)=X1,/(X)=/1,所以“X)在区间(一,o)上/(x)0,/递增，所以“X)在X=O处取得极小值也即是最小值/(0)=0,所以/(%)0,即%+1在R上恒成立，将X改为T,贝I有X-x+1在R上恒成立.所以AB选项为真命题.当XO=1时，1-=1,%-1/T,所以D选项为真命题.eXO11_r构造函数g(x)=1nx-x+1(x0),gx)=-1=，所以“X)在区间(0,1)上/(x)0,g(x)递增，在区间(1+)上/(x)0,/递

9、减，所以g(x)在x=1处取得极大值也即是最大值g=0,所以g(x)O,即InXxT在(0,+)上恒成立.所以C选项为假命题.故选：C6. (2019湖北(文)下列不等式中正确的是SinXV%,%(0,+oo);(2)exx+1,xR；(3)1nxx,x(0,+).A.B.C.D.【答案】B【详解】对于：令y=sin%-%,%(0,+oo),则y=cos%-10恒成立，则y=sinx-%,%(0,w)是减函数，所以有y。恒成立，所以SinXVX,x(0,+oo)成立，所以正确；对于：exx+1,xRf令y=-x-1,y,=ex-1f当0时，y,0时，y,0,所以函数尸靖7-1在(-8，。)上是

10、减函数，在(。，+上是增函数，所以在=。处取得最小值，所以0-1=。，所以/%+1,xH成立，所以正确；X对于，InX0,当X1时，y,o,所以函数y=1nx%在X=I时取得最大值，Bpj=1nx-x0-10,所以1nx0,exx+1,命题4：3(0,+),1n,则下列命题正确的是A.PAqB.1P)AqC.P八(f)D.(夕)(-)【答案】C【详解】：fx)=ex-x-1jx)=ex-1,%0时，/(x)0,所以f(x)在(0,+动单调递增,f(x)f(O)=O,:.exx+1,P真;11x,令g(x)=1n%-%,g(%)=1=，x(0,1),g(x)O(1,+),g(x)0，XXg(x)ma=g(1)=-1O,所以g(x)O在(O,+a)恒成立，q假；故选C.8. (2023安徽毛坦厂中学高三阶段练习(理)设=1n1.01,人=等，。=工，(其30eIO1中自然对数的底数e=2.71828)贝U()A.abcB.acbC.cbaD.ca0),J(I)=O,/(力=。_I=所以/(x)在(U)上/(%)0j(x)递增,在(1,+)上/(x)0,(x)递减，所以x)1)=O,BP1nxx-1,令X=1o1,贝!ja=1nx,万,c=1一,，考虑至!j1nxx-1,可得1n=-1,即-Inx-1,30e%XX