专题10 与等差数列相关的结论（解析版）.docx

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1、专题10与等差数列相关的结论一、结论设SrI为等差数列%的前项和.(1) ar1=ai+(n-1)d；an=am+(n-m)d(2) p+q=m+nap+aq=am+ar(m,n,p,qN)p+q=2map+aq=2m(m,p,qTV*)；(4) Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4w-S3m构成等差数列.Q71Q(5) =1=+(4_)是关于n的一次函数或常数函数，数列二4也是等差数列.n22nn22若等差数列6的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和S为S偶,则所有项之和邑根=m(am+5+),S偶S奇=根，T=叽.3奇am(8)若等差数列%的项数为奇数2m-1

2、,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=(2rn-I)am,S奇=mam,S偶=(m1)金，S奇S偶二(,S奇=mS偶m-t(9)在等差数列,仍/中，它们的前几项和分别记为则二.bnT2n-1二、典型例题1. (2023山西太原高二阶段练习)设等差数列%的前项和为s，若又=2,S”=8,则邑左=()A.28B.32C.16D.24【答案】B【详解】由等差数列/前n项和的性质，可得耳，-,-,3妹-S软成等差数列，.2(-)=+-,解得S=18.2,6,10,邑k-18成等差数列,可得2x1O=6+S4厂18,解得S=32.故选：B【反思】等差数列中依次机项之和黑，S2

3、m-5m,53m-52m,S.-S3组成公差为m2d的等差数列,此结论可以直接用语计算，但是在使用公式时注意避免公式使用错误.2. （2023北京人大附中高二期末）已知等差数列%的前项和为S，并且兀。，/0，所以4+%0,又与=5詈d=o%o,所以%0，所以等差数列4的前6项为正数，从第7项起为负数，所以SS6,所以左=6.故选：C.【反思】充分利用p+q=m+nap+aq=am+an（m,p,qsN*）和p+q=2mncip+aq=2arn（m,P,qeN*）,推出等差数列的正负项（或者单调性），从而确定数列/中最大和Sk3. （2023安徽宣城高一阶段练习（文）已知等差数列%共有2UN*）

4、项，若数列%中奇数项的和为190,偶数项的和为210,%=1,则公差d的值为（）55A.2B.4C.-D.-42【答案】A【详解】由题意S奇=MaTT）=190,S偶=&；%）=Iwe=210,所以，S偶一S奇=（an+1-）=0,513。,S30,7O,4%,且公差d。的最大的为15；若S50,5160,则S中国最大;（D57，。6；）=（4+电）+4（%+。5），故不成立；若S4=H2,则2S,=%+4+弓2=4（融+9）=0,因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以。80，0,窿:16（。；%6）二丝+妇二。,则使S。的最大的为15,故成立；几=15（%；Q）=50,（J6%6）

5、=8W0,贝U为0,因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以s中的最大项是$8,故正确；若S7。，但S9-S8=9,不确定为的正负，故不正确.故选：B8. （2023河北武邑武罗学校高二期中）已知等差数列%的公差为4,项数为偶数，所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为A.10B.20C.30D.40【答案】B【详解】设等差数列4的公差为d=4,项数为，前项和为S，则S偶-S奇=Td=2=40,即这个数列的项数为20,故选择A9. （2023重庆西南大学附中高二期末）已知等差数列%共有2+1项，其中奇数项之和为290,偶数项之和为261贝1为+1的值为（）.A.3

6、0B.29C.28D.27【答案】B【详解】奇数项共有W+1）项，其和为%+；2向（+1）二0（+1）=290,.（h+1）+1=290.偶数项共有几项，其和为七9”=安=阳用=261,.41=290-261=29.故选：B.二、填空题10. （2023全国高三专题练习）设Sc为等差数列m的前n项和，若m的前2017项中的奇数项和为2018,则S20的值为.【答案】4034【详解】因为4+%+%+a2017=1009/oo9=2018,所以009=?，故52o=+“2017=2017。I（X）9=4034.故答案为：4034.11（2O2O四川省绵阳南山中学模拟预测（理）设S是等差数列4的前项和，若S25。，S26。，则数列,N+,25）中的最大项是第项.【答案】13【详解】解：在等差数列七中，(%+)2502由墨。，526ai3+%4则数列%是递减数列，且前13项大于0,自第14项起小于0,数列,区,垦从第14项起为负值，C1?25而丈为递增数列，数列或区,垦的最大项是第13项.C225故答案为：13.12.(2019河南郑州一中高二