专题05 函数周期性问题（解析版）.docx

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1、专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R上的函数/(%),若对任意xH,总存在非零常数T,使得/(x+)=/(x),则称/(%)是周期函数，T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：如果/(%+)=/(x)(10),那么J(X)是周期函数,其中的一个周期T=2a如果以X+)=上(。0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.于(x)如果f(x+。)=1(10),那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果fx+d)+/(x)=c(10),那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=2a.如果/(x+)=(x+b)(Q00),那么/(%)

2、是周期函数，其中的一个周期T=a-b.(6)如果/(x)=(x+)+(x-)(w),那么/(x)是周期函数，其中的一个周期T-6a.二、典型例题1. (2023全国高考真题)已知函数/(X)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(2x+1)为奇函数，则()A.B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0【答案】B【解析】因为函数/(x+2)为偶函数，则/(2+九)=2),可得/(+3)=(1),因为函数/(2x+1)为奇函数，则1-2x)=/(2x+1),所以，/(1-x)=-(x+1),所以，/(x+3)=-(x+1)=(x-1),BP(x)=(x+4),故函数/(%)是以4为周期的周

3、期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=(1)=0,故/(T)=/(1)=。，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数/(x+2)为偶函数，所以其图象关于x=0对称，则函数/(x)的图象关于直线x=2对称；所以/(x)=(x+4)(1)；又函数/(2x+1)为奇函数，所以其关于(0,0)对称横坐标向右平移-个单位1描巫去他小臣9付D-/(2(XE小)通过图象平移伸缩变换，可以得到了(2x)关于(Eo)对称，进而/(x)关于(1O)对称；可得：f(-x)=-f(x+2)(2)；综合(1)可得/(x+4)=-f(x+2)nf(x+2)=-f(x)；利用结论f(x+a)=-

4、f(x)的周期为T=2ai故本题中/(x)的周期为T=4利用/(T)=-/5+2)(2)可得/(-1)=-/(3)=-/(3-4)=-/(-1)02/(-1)=00/(-1)=0【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：f(a+x)=f(a-x)轴对称问题：/(%)关于X=Q对称,可得到如下结论中任意一个：/(X)=f(2a-x).f(-x)=f(2+x)f(a+x)=-f(a-x)点对称问题：/(%)关于(。8)对称,可得到如下结论中任意一个：/(%)=-/(2-%)；/(T)=_

5、/(2+x)2. (2023全国高考真题(理)设函数x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数,当x12时，f(x)=ax2+b.若/(0)+43)=6,则/【答案】D【解析】令1=1,由得：/(0)=-(2)=-(4t+),由得:/=(1)=+b,H()+(3)=6,所以(4+b)+b=6n=-2,令x=0,由得：/(1)=-(1)(1)=0=2,所以x)=-2Y+2.因为/(x+1)是奇函数，所以/(x+1)图象关于(0,。)对称，/(x+1)横坐标向右平移1个单位/所以f(x)关于(1O)对称,得:f(-x)=-f(2+x)(1)因为/(x+2)是偶函数，所以/(x+2

6、)图象关于X=O对称；/(x+2)横坐标向右平移2个单位(),所以/(X)关于X=2对称，得：/(-x)=(4+x).(2).综合(1)(2)得到:/(x+4)=-/(x+2)=/(x+2)=-/(X)得到T=4所以再利用/(x)=/(2+x)(1)令x=；代入：f()=-f()=I故选：D.【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1. (2008湖北高考真题(文)已知/(X)在R上是奇函数，且/(%+4)=(九),当x(0,2)时，/M=2/,则f(7)=A.-2B.2C

7、.-98D.98【答案】A【详解】./(%+4)=/(%),./是以4为周期的周期函数，由于AX)为奇函数,A/(7)=(7-42)=(-1)=-(1),而1)=2,即/=2.故选：A.2. (2023全国模拟预测(文)已知定义在R上的偶函数/(%),对VxR,有/(%+6)=/(%)+/(3)成立，当0%3时，f(%)=2%-6,则/(2023)=()A.OB.-2C.-4D.2【答案】C【详解】依题意对R,有/(%+6)=(%)+(3)成立，令x=T,则3)=/(-3)+/(3)=2/，所以J=0,故+6)=),所以44)是周期为6的周期函数，(2023)=(6337-1)=(-1)=(1

8、)=21-6=.故选：C3.(2023江西三模(理)已知函数/(力的图象关于原点对称,且满足了(%+1)+3-司=0,且当x(2,4)时，/(%)=-1og/%T)+根，若/(2023)-1=。,则m=()224343A.B.C.D.3434【答案】C【详解】因为函数4X)的图象关于原点对称，所以“尤)为奇函数，因为/(x+1)=/(3%)=/(%3),故函数Ja)的周期为4,则/(202(=”1)；而/(1)=/(1)，所以由2。；)T=/(-1)可得AI)=I；而/=_/(3)=1og(31)_根=；,234解得力=_.故选：C.4. (2023四川石室中学模拟预测(理)已知定义域为R的奇

9、函数/(%)满足/(x+4)-(x)=(2),当x(0,2)时，/(x)=2x2-3x+1,则函数y=/(%)在T4上零点的个数为()A.10B.11C.12D.13【答案】D【详解】解：因为“%)是定义域为R的奇函数，所以A。)=。.因为/(%+4)Fa)=A2),令1=2,得为-2+4)=-2)+2),即/(2)=/(2)+/(2),所以/(-2)=0.又因为了(%)为奇函数,所以为2)=-/(-函=0,所以/(%+4)=(%)+*2)=(%),所以/(X)是以4为周期的周期函数.根据周期性及奇函数的性质画出函数y=(x)在-4,4上的图象，如图.由图可知，函数y=(x)在1,4上有零点4

10、-3.5,-3,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4,共13个零点.5. 故选：D6. (2023广西玉林模拟预测(文)已知定义在R上的偶函数AX)满足/(x+3)=(3-%),且当x(0,3),/(x)=xe则下面结论正确的是()A./(13)I-I(e)B./(e)(13)/19f(e)f(13)D.f(13)(e)2,I1n32,/.11n32-e3,2又r(X)=(X+1)e易知AX)在(0,3)内单调递增，所以/(1n3)T(e)故选：A.7. (2023黑龙江佳木斯一中三模(理)已知y=(x)为奇函数且对任意xR,/(x+2)=(-x),若当x0,1时，/(x)

11、=Iog2(x),则/(2023)=()【答案】C【详解】解：因为y=()为奇函数，即/(%)=/(%),因为对任意xR,/(x+2)=f(-x)=-J(x),所以“x+4)=x),当x0,1时，/(x)=Iog2(x+),所以/=1og2=O,所以=1,则/(2023)=505x4+1)=I)=IOg22=1故选：C.8. (2023浙江瑞安中学模拟预测)已知函数是定义在R上的奇函数，满足/(x+2)=(-x),且当x0,1时，f(x)=1og2(x+1),则函数y=/(x)V的零点个数是()A.2B.3C.4D.5【答案】B【详解】由/(x+2)=/(x)可得/(%)关于X=1对称，由函数

12、/(%)是定义在H上的奇函数，所以人九+2)=T)=-JW=-f(x-2)=f(x-2),所以/的周期为4,把函数y=/(x)-犬的零点问题即y=()-d=o的解，即函数y=()和y=3的图像交点问题，根据/(%)的性质可得如图所得图形，结合J=X3的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.9. (2023陕西模拟预测(文)已知定义在R上的奇函数/(可满足x)=2-x).当1x2时，/(x)=1og2(x+7),则/(2023)=()A.3B.-3C.-5D.5【答案】A【详解】由条件可知,f(-x)=-(x),且x)=(2-%),BPf(2-x)=-f(-x),即/(2+x)

13、=/(x),那么x+4)=-x+2)=x),所以函数/是周期为4的函数，/(2023)=(5054+1)=(1)=1og28=3.故选：A10. (2023全国模拟预测)已知/是定义在R上的偶函数，且VxR,/(4-x)+(x)=0.若/(3)=6,则/(21)=.【答案】-3【详解】由4x)+x)=0可得63)+/=0,X(1)-f(3)=6,所以3)=3.由/(4x)+(x)=0可得/(力=/(4九)=/(兀一4),故x)=a8),故/(力的一个周期为8,则2)=/(3)=/=3.故答案为：-3.11. (2023陕西二模(理)已知定义在H上的奇函数y=(x)满足/(%+8)+(尤)=0,

14、且A5)=5,贝Ij”2019)+“2024)=.【答案】5因为/(尤+8)+/(尤)=0,所以/(%+8)=/(尤),所以/(%+16)=/(%+8)=/(尤),所以函数y=()是以16为周期的周期函数.又在/(%+8)+(%)=0中，令=。得/(8)+(0)=0,且奇函数y=(x)是定义在H上的函数，所以/(0)=0,故/(8)=0,所以f(2024)=f(16x126+8)=”8)=0.又在/(%+8)+(x)=0中,令x=T,W/(5)+/(-3)=0,得于=-/(-3)=3)=5,贝U/(2019)=/(16x126+3)=/(3)=5,所以/(2019)+/(2024)=5.故答案为：5