专题03 奇函数的最值性质（解析版）.docx

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1、专题03奇函数的最值性质一、结论已知函数/(%)是定义在区间。上的奇函数，则对任意的x。，都有/(x)+(T)=0.特别地,若奇函数/(X)在D上有最值,则J(X)max+/(x)min=O；若ODOD,则有/(O)=O.(若/(x)是奇函数，且0Dn(O)=0,特别提醒反之不成立)二、典型例题1. (2012全国高考真题(文)设函数/()=(x+?+Smx的最大值为人,最小值为加，贝Im+M.【解析】f(=(x+1)2sinx=1+2x+si,令解析=2x：si,则g(%)为奇函数，v7X2+1X2+1X+1所以g(%)的最大值和最小值和为0,又g(x)=-.有1+加一1=0,BPm+M=2

2、.答案为：2.【反思】本题中/(%)不是奇函数，无法直接使用结论，但是通过构造g()=()-1,使得g(%)是奇函数，从而有g(x)ma+g(%)min=OnM1+机I=OnM+根=22. (2023江苏盐城一模)若/(x)=(x+3)5+(x+*5是奇函数，则加二.【解析】因为/(x)=(x+3)5+(+5是奇函数，并且/(%)定义域为R所以有/(0)=,即3,+根=O=机=3.【反思】在本例中，由于/(%)是奇函数，并且O属于定义域，所以可以直接利用奇函数性质/(O)=O求解三、针对训练举一反三1. (2023河南高三阶段练习(文)已知X)为奇函数，当x0时，/(x)=x2-4+m,则当x

3、0时，“X)=()A.x2-4-x+1B.-x2-4x-1C.-+4-x-1D.-2+4-+1【答案】C【详解】因为/(%)为奇函数，所以/(O)=m1=。，即m=1当x0,/(%)-f(T)=-(-x)24T+1=-2+4-X-1.故选：C2. (2023湖北十堰市教育科学研究院高三期末)已知=(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，/(x)=x2+tz+1,则/(-2)=()A.-2B.2C.-6D.6【答案】A【详解】y=()是定义在R上的奇函数贝府/(0)=+1=0解得：a=-1当x0时，f(x)=x2-x,则2)=2)=2故选：A3. (2023四川遂宁高一期末)若函数/=/+汉产-

4、/)+3在(-O)上有最小值一6,(a,为常数)，则函数/在(。,+8)上()A.有最大值5B.有最小值5C.有最大值9D.有最大值12【答案】D【详解】解：g(x)=ax3+Kex-ex),其定义域为R,又g(-x)-(-x)3+从/炉)=-cue3-Kex-ex)-g(x)所以g(x)是奇函数.根据题意：函数/=/+Kex-二)+3在(-,0)上有最小值一6,所以函数g(%)=/(%)-3在(-,0)上有最小值-9所以函数g(x)在(。，+上有最大值9,所以/(%)=g(x)+3在(。,+上有最大值12.故选：D.4. (2017山西(理)若对V%yR,(x+y)=(x)+(y)-3,则函

5、数7rg=曰+/(力在-2017,2017上的最大值与最小值的和为A.4B.6C.9D.12【答案】B【详解】对Vx,yR,有/(x+y)=(九)+/()3,令=y=O,有/(O)(O)+/(O)3(0)=3,令y=,*(0)=(x)+(-x)-3,贝J/(%)+/(%)=6,h(x)=f(x)-3,贝Jz(x)+z(-x)=0,则用(X)为奇函数，9Y又设函数9(x)=F,9(x)为奇函数，贝Jg(%)=e(%)+z(%)+3,而O(X)+z(x)为奇函数，%+1由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则g(x)的最大值与最小值之和为6.选B.5. (2023甘肃省民

6、乐县第一中学(文)设函数/(x)=加+bsinx+c1n(x+J2+)+3的最大值为5,则/(%)的最小值为()A.-5B.1C.2D.3【答案】B【详解】解：由题可知,/(x)=3+sinx+c1n(x+x2+11+3,设g(x)=加+SinX+c1n(+1),其定义域为H,又g(-x)=(-x)3+Z?sin(-x)+c1n(-x+(-x)2+1)，即g()-or3-Z?SinX+c1n(-x+x2+1)，由于g()+g(X)=CInX+J%2+1)+c1(X+JX2+1)=C1n=C1n1=0,即g(x)+g(x)=O,所以g(x)是奇函数,而X)=g(x)+3,由题可知，函数/(%)的

7、最大值为5,则函数g(x)的最大值为：5-3=2,由于g(x)是奇函数，得g(x)的最小值为-2,所以了(%)的最小值为：-2+3=1故选：B.6. (2023湖北高一期末)已知函数/(x)=3+d+5+2,若/()+(21-1)4,贝U实数的取值范围是()A.1,+3B.C.(-,3)D.(3,+)【答案】A【详解】3x-13x+1g(-x)=(-x)-2=3x+1+1C2=3x+13+3xo1-3x1+3x=1+3X=g(X)，设g(x)=/(X)2,xR,贝Jg(-x)=3(-xy+(-y+5(-)=-(35+3+5)=-g(),即g(*为奇函数，容易判断g(%)在R上单调递增(增+增)

8、，又a)+2a-1)4可化为,/(a)2/(2a1)2=g(1)-g(2a1)=g(121),所以12o,4g.故选：A.7. (2023江西模拟预测)已知函数/=3在-2023,2023上的最大值与最小值分别为M,m,贝IJM+m=.【答案】4【详解】设g(x)=/(x)2,%-2023,2023,3x+1+1g(x)=f(x)-2=3、-2=所以g(x)是奇函数,又g(x)max=/(X)max=M2,gWmin=f(%)min-2=m-2,所以g(x)ma+g(x)m=M+m4=。，M+m=4.故答案为：4.8. (2023全国高三专题练习)定义在尺上的奇函数g(x),设函数/(x)=*

9、+g的最X+1大值为，最小值为加，则Af+m=【答案】2【详解】函数y=g()为奇函数，g()=-g()，又/=+1?+g(x)=1+2x：g,)的最大值为M,最小值为加，X+1X+1又/Z(T)=-卫詈苧=T(X),即y=()为奇函数，X+1且h(x)=2x：g,)的最大最小值分别为M1,m-1,X+1由奇函数的性质可得(MT)+(根T)=。，解得M+根=2.故答案为：2.19.(2023全国高三专题练习)设函数/(%)=(A1)?+?的最大值为疲,最小值为加，则X2+1【答案】2【详解】11解：函数外,-+I-2+2%+1+炉3+2%,JWX2+1X2+1X211则/1=三年元+11所以/

10、(T)T=-/(X)-IX+1所以/(X)T为奇函数，贝IJ篇(幻1+$式幻1=。，BPM-1+m-1=O,则Mm=2,故答案为：2.一710. (2023江西贵溪市实验中学高二阶段练习)已知定义域为R的函数“X)=啧子奇函数，则实数4的值.【答案】1【详解】/是定义在H上的奇函数，1+a.(0)=0,即=0,解得=1,1 +1当1=1时，/()=-,定义域为H,2+1斗二X二-3Ta),J2x+11+2x2x+1F(X)为奇函数,故答案为：111. (2023山东省莱西市第一中学高一阶段练习)设函数(x)=2)2Y：cos3x的最大值为最小值为加.则/+根=.【答案】2【详解】/、%2-4x

11、+4-x2023cos3x14x+x2021cos3x=1一/4x+x2023cos3xG令g()=一，XeR，则/)=1-g(X)，mAr/-4x-%2023cos3x/、因为g(-)=%2+4=_g(X)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)m=，故M+根=1一/(X)mi11+1-7(%)max=2.故答案为：2小+2,+g12. (2023陕西高新一中高一期中)已知函数/(X)=3：；的最大值为加，最小值为加，求M+m的值.【答案】18【详解】9-3h+x+99i%3h+1-+3h+13+2+r+q解：根据题意，/(X)=；/rxI1设g()=97因为g(-X)=-1片=-g(),所以函数g()=是奇函数,所以g(x1+g(x)min=d所以M+加=g(%)nax+9+g(x)min+9=18,所以M+机=18