(人教A版选择性必修第二、三册)专题1求数列的通项公式-(教师版).docx

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1、求数列的通项公式模块导图知识剖析求数列的通项公式是高考常考的一专题，形式多样，解题方法很多，常见的有累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、取倒数法等，课外延申的还有不动点法等，不管什么方法，一定要理解解题方法的本质，清楚每种方法的适用范围，避免出现“看得懂，模仿做还行，独立思考就含糊”的情况.经典例题【方法一】观察法适用范围：给出数列的前几项，猜测通项公式；方法：通过观察，得知数列各项之间数值的关系（比如数值之间的差或商成一定规律）或数值结构特点（比如数值的正负，分式，平方)从而求得通项公式.【典题1】写出下列数列%1的一个通项公式(3)2,5,10,17,26,.；(4)32,332,3332

2、,33332,(5)1,2,2,3,3,4,4,.【解析】分解结构法：注意数值的结构，看其是否可视为两个或多个数列组合而成.(1)数列-7,14,-21,28,每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，序号1234n符号一+一+(-Dn绝对值71421287n项(-1)n7故=(-1)n7;(2)数列%*(每项可分解成分子和分母相除得至1序号1234n分子13572n-1分母4816322n+1项(2n-1)2n+1故(=(2n1)2n+1;变形法：数列本身特点不明显，但通过加减乘除某个数之类方式变形成“规律感更强”的数列.(3)数列2,5,10,17,26,中若每项减去1,则变成1,4,9,16

3、,25,，这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是层，则原数列只需要在这基础上加回1便可，即时=n2+1.(4)数列2,32,332,3332,33332,.中若每项加上1,则变成3,33,333,3333,33333再每项乘以3,变成9,99,999,9999,99999,其中9=10-1,99=IO21,999=IO3-1,9999=IO4-1,99999=IO5-1,则其通项g=10九+11,要求原数列的通项公式，贝广逆回去除以3再减1可得时=g一1=岑二-1=W分奇偶项(5)数列1,2,2,3,3f4f4,，相邻每项之间没什么关系,若分奇偶性来看，就简单多了，可得奇数项为1,2,3,4

4、,，可得册=等.偶数项为2,3,4,，可得即=等.传1，Ti为奇数则该数列通项公式“=京2I,等，为偶数【点拨】观察法主要是依靠“数感”，以上讲解的“分解结构法”“变形法”可有助于观察，它对后面讲到的利用数学归纳法求解通项公式有用.巩固练习1()数列1,了f,的一个通项公式为()(-f)nC.(-1)nn-1D.【答案】D【解析】依题意，数列%j的符号正负项间隔出现，故符号为(一1)计,且每项为(y,+1/n九一1故数列ar的一个通项公式为册=(1)()，故选：D.2”)下列可作为数列1,2,1,2,1,2,的通项公式的是()A.%=上号空B.M=TC.an=2sir-D.an=2cos(n1

5、)【答案】B【解析】根据题意，数歹U121212.其奇数项为1,可以看作畤旦偶数项为2,可以看作上严；其通项公式可以为：即=若之；故选:B.()写出以下各数列的一个通项公式.111(1)1,-T,；(2)10,9,8,7,6,；(3)0,3,8,15,24,；1 S111Q(4)-(5)4,44,444,4444.ZOIZZUDU答案(1)=(-1)X(2)n=11-n(3)n=n2-1Wan=1-痴高(5)=B(I(P-D【方法二】“与Sr1的关系公式法适用范围：若得知Sr1或即与Sr1的关系式，求数列通项公式.方法：利用册与SrI的关系an=51九；1，注意分类讨论，最后确定的是否满足%=

6、IJT1-IZf(n)fn2.【典题1】已知数列为1的前Ti项和立,满足关系1g(S71+1)=上求的1的通项公式.【解析】1g(Sn+1)=71,Sn=IOn-1当九2时，(In=Sn_Sn_1=910n1当Ti=1时,a1=S1=9满足%=910n1,(确定是否满足上式)an=9I(PT(nN*).(最后等式才由T12变成TIN*)【典题2】已知数列%1的前几项和为%,a1=1,满足下列条件MN*,%10；点(r,SQ在函数/(%)=学的图象上；求数列&1的通项的1及前几项和Srv【解析】由题意Sr1=警，当九2时的1=SrI-Sr1T=雪-及T)-整理，得(31+Q)(%1-r-I)=0

7、,(因式分解)又VTIN*,%10,所以Qr1+n_1OBPC1QT1.-1=1,又Qi=1.数列or是首项为1,公比为1的等差数列，Cn2+nan=71，Sn=.【典题3已知ar中，t=1,an=fSn(n2),求%1.23TIT【解析】当n2时，an=Sn-Sn.1*ST1_1Sn=2SnSn.1两边同除以Sr1Sr1得白-白=2(该变式技巧了解下)(上两题是“消去EI得到数列/1递推公式，该题“消去”册得到数列Sr的递推公式)数列9为等差数列，公差为2,首项为1.12(n-1)=2n1,解得Sr1=,Sn271-1%=1不满足为=(2：2),(1,n=1C1n-=n2I(2n-1)(2n

8、-3)一【点拨】当题中得知%或即与STI的关系式，则可利用公式即=fs-sn2消去为1或5n,得到对应的递推公式进而求解时,但最后都要注意确定的是否满足%1=f(n)n2.巩固练习1()已知数列%的前几项和SrI满足Sr1=n2*+n-1,求数列时的通项公式.t=2n,n12【解析】当九2时,an=Sn-Sn_r=2n当九=1时，a1=S1=1不满足71=2n,；a71是以首项为I，公比为第勺等比数列，an=G)”3()已知数列QrJ的前几项和Sr,满足劭=一4，2Sn=(n-7).求生和数列的通项公式；【答案】dn3n10(nN*)【解析】在2Sr=(n7)中，当九=1时，2S=Q1-721

9、=a1-71=-7.由2Sr=TiQan-7)得，2Sn+1=(九+1)(n+17),两式相减得，2n+1=(n+I)Qr1+1-nan-7,所以(九一1)n+1-Tian=7,当2时，有如弋=一=7(土一工)，nn-1n(n-1)n-1n所以喉1_2_n+1_&)_|_(&_an-1_|_+(%_%)=7-+7-+-+7-=7(1-=zVn-所以&1=也+7(yIT)=-4+7(yIT)-3n7.fn1nnn所以an+1=3n7(n2),故71=3n10(n3),又的=-7,a2=-4也都符合上式，所以时=3n一1O(N*).4()设数列的前TI项和为S71,已知的=2,a2=8,Sn+1+

10、4Sn-1=5Sn(n2),求数列的通项公式；【答案】an=22【解析】由Sr+4Sn.1=5Sn(n2)可得%+Sn=4(Sn-5n-1)(2),*QTI+1=4q九,(T12),*Q1=2,a2=8,?两九十14九,所以数列%1是首项为2,公比为4的等比数列，故为1=2X4n-1=22n-1.【方法三】累加法适用范围：递推式为an+1=an+f(n).方法：得到+-%I=/(n),利用累加的形式求出.【典题1】已知数列%满足的=2fan+1=an+In(I+，求r.【解析】由条件知：71+Qri=仇(1+，)=加T1=加(九+1)仇nn2时anan-=Inn1n(n1)C1n-n-2=E(

11、JI1)Z?1(712)a4a3=1n41n3a3a2=1n31n2。2Qi=/九2ZtiI把以上九-1个式子累加得。九a1=InnIn1=Inn,QrI=Q1+Inn=Inn+2(n2),a1=2也满足%1=Inn+2,an=Inn+2(nN*).【典题2】已知数列ar满足+=an+23n+1,1=3,求数列的通项公式.【解析】由+=Qr1+2X3n+1得+-n=23n+1n2时,an-(anQTI-I)+(an-1一QT1-2)1-(3-。2)+(。2-)+aI=(2X3n-1+1)+(23n2+1)+(232+1)+(231+1)+3=2(3T1T+3n-2+32+31)+(n-1)+3

12、3(1-3n-1)=27+(n-1)+3I-J而=3也满足/1=3n+n1,.n=3n+n-1(nN*).巩固练习1()数列c满足%,=3fan+1an=2n-8(nN*),贝”他=【答案】3【解析】数列%1中，a1=3fan+1-an=2n-8(nN*),：anan-2n-10,n-1an-22n12,-a2=-4，a2Q1=-6,ana1=64.+(2n12)+(2n10)=(九i)(n8),.an=(n1)(n8)+3,*C1q3)将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是.47101316192225283134374043【答

13、案】577【解析】设各行的首项组成数列,则一3,326，,Qn-QnT=3(n1)叠加可得：C1na1=3+6+F3(n1)=，3201914rr74a20I-I=571数阵中第20行从左至右的第3个数是571+2X3=577故答案:577.3()已知数列c满足=,+=Q7I+总无，求(.【解析】由条件知:an+1-an1_1_11n2+nn(n+1)nn+11二7，QT1-QTI1n1_1_11_111.,.21=1-2=-04-3=n-/-2=zz334nZ11711n把以上n-1个式子累加得到.-1-11XX1.J-1.J.-1J-Qr)c1=111rH1=1；n122334n-2n-1n-1nn,Y131,C1n=C1+1-.711n2n4()已知数列a71的前Ti项和为S,Sn-an=n+2,N*.