(人教A版选择性必修第二、三册)专题2导数中的二次求导-(教师版).docx

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1、导数中的二次求导知识剖析1二阶导数的概念如果函数y=f(%)的导数(%)在%处可导，则称y的导数为函数y=f(%)在%处的二阶导数，记为广(%).Eg若函数f(%)=%3,则/(%)=3/,/(%)=1(%)=3x2r=6x.2二阶导数的意义二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性.若在(,b)内/(%)0,则%)在(,b)内为凹函数；若在(mb)内/(%)V0,则f(%)在Qb)内为凸函数;Egf(X)=眇,其二次导数/(%)=e%0,为凹函数；f(x)=Inx,其二次导数尸(%)=-妥。和尸(%)0和g(%)0也很难求解呢？那就要

2、三次求导.经典例题【题型一】判断函数的凹凸性【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性(I)f(x)=xe(3)f(%)=%-Inx【解析】(1)(%)=(%+1)ex,/(%)=(%+2)e%,故/(%)在(8,2)上凸，在(2,+8)上凹；(2)广(%)=W,f(x)=(/：+,故/(%)在(_8,0)上凸，在(0,+8)上凹;(3)广(X)=Inx+1,/(%)=故/(%)在(0,+8)上凹;【点拨】对于常见的超越函数，需要了解下它们的图象，特别是凹凸性，日后会经常见到它们的踪影，比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.1(*)判断以下几个超越函数的凹凸性(1)f(x)=等(2)=(

3、3)=【答案】。汽)在(Oj)上凸,在(1,+8)上凹331(1)/(%)在(0,诞)上凸，在(淳,+8)上凹(3)f(%)在(8,2)上凸，在(2,+8)上凹【题型二】二次求导与函数的单调性【典题1】若函数/(%)=罢，Ox1X2,设Q=f(xt),b=f(%2)，试比较,5的大小.【解析】(要比较a前的大小，显然想到y=f(%)单调性)(要知道原函数y=/(%)的单调性，则分析y=xcosx-S讥的正负性，而它不太好分析，可构造函数y=g(%)二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性)贝Ug(%)=xsinx+cosxcosx=xsinx当O%7时，g，(X)V0,即g(

4、%)在(0,兀)上递减,.g(x)g(0)=0,(此时得到函数y=g(%)的草图，正负性便确定):/(%)0,./(%)在(0,兀)上递减，,当0x1X2f(%2)，即Qb.【点拨】要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性;当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数y=kx+b-,“二次型导数y=ax2+bx+C-,“指数型导数y=kex+b”或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导.2【典题2求函数f(%)=In2(%+1)-S的单调性.【解析】/(%)的定义域是(-1,+8),r1z、21n(x+1)x2+2x2(x+1)1(x+1)-x2-2x)Jx+1

5、(x+1)2(x+1)2设g(%)=2(%+1)In(%+1)-%2-2%,(导函数y=/(%)的正负性与y=g(%)一致，y=g(%)不能因式分解，函数较为复杂，要判断它的正负性，若能知道它的图象就好了，便想到二次求导)则g(%)2In(%+1)2%=2In(%+1)%,(此时要分析y=g(%)的正负性，也不容易，则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性)令t(%)=gf(x)=1n(x+1)-%,则t(x)=一七，当一1%0,“(%)在(1,0)上单调递增；当%0时，tf(x)0,“(%)在(一1,0)上单调递减；d(%)在=O处有最大值，而“(0)=0,(注意到g，(0)=

6、0,g(%)的零点)g(%)0,函数g(%)在(一1,+8)上是单调递减,当一1%g(O)=O,(x)0,/(%)递增;当%0时，g(%)g(0)=0,(x)0,/(%)递减;(注意到g(0)=0,事情就这么巧，分析出y=f(%)正负性了)/(%)的单调增区间是(-1,0),递减区间是(0,+8).【点拨】本题的思路是/Q)单调性一广。)正负性I难g()=/(%)趋势图一g(%)正负性难O=g()趋势图t(%)正负性本题中作了“3次求导当导函数形式较为复杂，利用导数画出导函数的趋势图，数形结合便较容易得到它的正负性了，此时也要注意一些特殊点，比如g(0)=0,g(0)=0.【典题3求g(%)=

7、ex+Cosx-ax2(%0)的单调性.【解析】g(%)=ex-sinx-a,令p(%)=g(%)=ex-sinx-a,(构造函数二次求导)故p(%)=excosx,当0时，P鼠x)1-Cosx0,故P(X)在0,+8)上单调递增，(注意三角函数的有界性)(此时p(%)rn讥=P(O)=I-,分析正负性要确定导函数是否有零点，分1Q1时，P(O)=10,且p(+1)=1-Sinana(Q+1)0,故存在&(0f1n(a+1),使得pQ)=gf(x0)=0,(1n(a+1)这取点较难，而当工+,p(%)+,也可知y=p(%)零点%。的存在)当0%V&时，gf(x)%。时，gf(x)0,g(%)单

8、调递增.综上所述，当q1时，g(%)在0,+8)上单调递增；当Q1时，g(%)在0,+8)上先减后增.【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用，在分析导函数正负性，要确定是否存在零点,有时要分类讨论.巩固练习1 ()求函数/(%)=(C(%1)的单调性.【解析】尸=M+岂二)”沏丁中联,J(x-1)()求函数f(%)=S讥,仇%在区间(1,7)的单调性.(JC-I)2令g(%)=21nx1/贝Ug(%)=2x21nx2=2(%Inx-1)令t(%)=xInx1/贝亚(%)=1-=七二0,XX X%)在(1,+8)递增，t()t(1)=0,即g(%)0, g(%)在(1,+8)递增，.

9、g()g=0,即/(%)0, /(%)在(1,+8)递增.【解析】(%)=Sinx1nx/(%)=cosx-Inx+当(1()时，Q(%)0,单调递增;当G,兀)时，设g(%)=/(%)=cos%加则g(%)=-S讥%m/+空詈一号,f5)-1n0,%)单调递增；当(%0,7)时，f(x)0,.g(%)在(1,+8)上递增，.g(%)g(1)=a；当q0时，g(%)0,即广(%)0,./(%)在区间(1,+8)上单调递增，当Q0时，g(1)=Q0,当+8时g(%)+,则存在%o(1,+8)使得g(%o)=0,当(1,x0)Hf,g(%)0,即尸(%)0,即/(%)0,f(%)递增；综上所述，当

10、Q0时，/(%)在(1,+8)递增；当Q0时f(%)在(1,+8)上先减后增.【题型三】二次求导与不等式证明【典题1已知函数/(%)=(%+I)1nX-%+1,(1)若%尸(%)避+q%+1,求的取值范围；(2)证明(1)f(%)0.【解析】/(%)=?+Inx1=Inx+|,%/(%)=XInX+1题设%(%)x2+x+1等价于仇-(分离参数法)令g(%)=InxX,则g(%)=|-1当O%0；当1时,g(%)0,X=1是g(%)的最大值点，g(%)g(1)=-1,综上，的取值范围是-1,+8).(2)方法1要证(-1)f(%)0,只须证明0X1时，f(x)1时，f(x)0即可(*).(即需

11、要了解函数f(%)的图像)由可知/(%)=Inx+(该函数正负性有些难判断，想到可二次求导)令9(%)=f,M=Inx+p则。(%)=A或=燮，显然当00,即广(%)=伉+：在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数， /(%)/(1)=10,即/(%)在(0,+8)为增函数,由于/(1)=O(这点关键，解题中多注意“特殊点”，由于要“了解函数/(冗)的图像”和“证明(*)”的思路也不难想到)则0%1时，/(%)O .(%-1)/(%)0.方法2由(I)知,g(%)g(1)=-1,即伍-%+10.当OV%1时，/(%)=(%+1)1nx-X+1=x1nx+(1nx-%+1)0；当/1时，/(%)=Inx+(x1nxx+1)=Inx+x(1nx+-1),(这步提出尤有些“巧妙”)令h(%)=Inx+：-1(%1)，(%)=1)，所以当K1时，W(X)0恒成立，所以当%1时，II(X)(1)=0,即1时，/(x)=Inx+(x1nx-x+1)=Inx+xQ1nx+1)0,所以当%1时，(%-1)(x)0,综上，(x-1)/(%)O.【点拨】比较第二问两种方法，还是方法一的“二次求导”的思路来得自然些，当一次求导后感觉到“解f,M0和尸(%)0难度较大或甚至解不出(即很难得到(的正负性)”，则可尝试下“二次求导”.在整个过程中，数形结合的思想“如影随形”，不管是