(人教A版选择性必修第二、三册)6.1-6.2计数原理与排列组合-(教师版).docx

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1、计数原理与排列组合知识剖析1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有T1类办法，在第一类办法中有Tn1种不同的方法，在第二类办法中有机2种不同的方法，在第九类办法中有机几种不同的方法那么完成这件事共有N=Tn1+2+n九种不同的方法.分步乘法计数原理做一件事情，完成它需要分成几个步骤，做第一步有Tn1种不同的方法，做第二步有机2种不同的方法，做第T1步有Tn九种不同的方法，那么完成这件事有N=Zn1X2XXMr1种不同的方法.分类计数原、理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事

2、件的一个阶段，不能完成整个事件.Eg小芳要去Party,衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去Party呢？显然是3+4x5=23种方式.2排列排列概念从几个不同元素中，任取M(nTO个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从几不同元素中取出Tn个元素的一个排列.排列数从几个不同元素中，任取Tn(n九)个元素的所有排列的个数叫做从几个元素中取出Tn元素的排列数，用符号4T表示.其中=n(nI)(T12)(n-m+1)(m,nEN*,mn)或俨=71!n(n-m)!阶乘九！表示正整数1到九的连乘积，叫做九的阶乘规定0!=13组合组合概念一般地，从几个

3、不同元素中取出TnQnTI)个元素并成一组，叫做从几个不同元素中取出Tn个元素的一个组合.组合数从几个不同元素中取出TnQn几)个元素的所有组合的个数，叫做从几个不同元素中取出Tn个元素的组合数.用符号优表示.其中(nI)(T12)(nm+1)m72!TT(九，eN*,且thn)m1(nm)1排列与组合的区别(1)排列是讲“顺序”,而组合不讲“顺序”,比如(I)一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？(H)一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？显然问题I,的答案是C枭熊,选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序二(2)从几个元素中取出Tn个元素的排列(排列数4居可以理解为分为

4、两步：第一步从几个元素中取出Tn个元素组合，得到组合数C7；第二步再对租个元素进行排列，得到排列数Z/根据分步乘法计数原理得到m-c”*里znbn71Tn-匕九一ATn组合数的性质规定：以=1优=C1(比如CfO=%,从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等)C1=CY+CYT(从n+1个中抽出Tn个C=抽不到元素4的组合数优+抽到元素4的组合数C铲T)rC=几墨二;(rrr_r.九！_/！nCr1=n-ST=n!)nr!(n-r)!(r-1)!(n-r)!71-1(r-1)!(n-r)!(r-1)!(n-r)!PS若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！经典

5、例题【题型一】计数原理【典题1】（1）8本不同的书，任选3本分给3个学生，每人一本有多少种不同的分法？（2）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（3） 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那获得冠军有多少种可能？（4） 5名运动员报名参加3项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？【解析】（1）“8本不同的书，任选3本分给3个学生的意思等价于“三位学生在8本不同的书上选3本书，（可想象下：你是老师，要完成一件事情：安排三个学生4fB,C去拿书，具体如下）先让学生a去拿书，从8本书中任选一本有8种选法，再让学生B去拿书，从余下的7本书中任选一本有7种选法，最后让学生C去拿

6、书，从剩下6本书供选择有6种选法.由分步计数原理知：共有8X7X6=336种选法.（想象你是个邮差，你要把四封信”,b,c,d放在三个邮筒4,3,C里，那你会如何投信呢？）完成这件事分四步进行，每一步投一封信，每一封信都有3种选择，即每一封信都有3种投法.由分步计数原理知：共有3x3x3x3=34=81种.（现在你是颁奖嘉宾，拿着3个冠军奖牌给5个运动员）完成这件事分3步进行，每一步颁一个奖，都有5种不同的可能.由分步计数原理知：共有5X5X5=53=125种方法.（4）（这次你是教练，你带着运动员去报名）完成这件事分5步进行，每一步是运动员去报名，都有3种不同的可能.由分步计数原理知：共有3

7、X3X3X3X3=35=243种方法.（不可假设让比赛项目去挑运动员，否则同一运动员会出现报名多个比赛，53是错的）【点拨】利用计数原理，要先明确你是要分类还是分步；作类似题目可通过想象，想象自己是某个角色去“完成对应的事项、同时给到对应事物“名称”有助于你的思考.问题一用到排列组合其实就是“或因“；问题二-四属于“可重复的排列、它允许一个邮筒里放多封信，一个运动员夺到多个冠军，一个比赛有多个运动员参加.【典题2】某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答)你

8、想象自己是园丁，现在去按要求栽种花，先给不同部分标数字，按照-顺序栽种，由于是否同色会影响到的颜色选择，故要分类讨论，分两类：一、同色第一步：可用4种颜色；第二步：可用剩下的3种颜色；第三步：可用剩下的2种颜色；第四步：与同色，贝打种颜色选择；第五步：、使用了两种颜色，则还有2种颜色选择，即4x3x2x1x2=48种方法；二、不同色第一步：可用4种颜色；第二步：可用剩下的3种颜色；第三步：可用剩下的2种颜色；第四步：与不同色，贝打种颜色选择；第五步：、使用了三种颜色，则还有1种颜色选择；即4x3x2x1X1=24种方法；所以一共栽种的方法有48+24=72.故答案为72.【点拨】该类型“涂色问

9、题”，要注意与是否同色的情况，因为它会影响的选择个数.巩固练习1()有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？【答案】812(*)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？【答案】643”)将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是【解析】方法一：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，A,。不同色,。有3种，C有2种涂法,有5x4x3x2=120种，A,。同色，。有4种涂法，C有3种涂法，有5x4x3=60种

10、，共有180种不同的涂色方案.方法二：分步，比如先排58,两两不同色，有5x4x3=60种，再排A,只要与BC不同，有3种，故共180种4()如图，用4种不同的颜色给三棱柱4/1G的6个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的作色方法共有种.【答案】264【解析】图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，B,C1,A,4用四种颜色，则有形X1X1=24种涂色方法；B,C1,Af用三种颜色，则有题x2x2+幽x2x1x2=192种涂色方法;B,C1,A,Z1用两种颜色，则有掰X2X2=48种涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48

11、=264种不同的涂色方法.故选故答案为：264.5(*)如图，用四种不同的颜色给图中的/fB,CfDtE,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有【答案】600【解析】E,FfG分别有4,3,2种方法，当4与F相同时，4有1种方法，此时B有2种，(I)C若与R相同有C有1种方法，同时。有3种方法，(2)若C与尸不同，则此时。有2种方法，故此时共有：43212(13+12)=240种方法；当/与G相同时，4有1种方法，此时3有3种方法，若C与F相同，C有1种方法，同时。有2种方法，(2)若C与F不同，贝UD有1种方法，故此时共有：43213(

12、12+11)=216种方法；当/既不同于F又不同于G时，力有1种方法，(1)若3与F相同，贝UC必须与力相同，同时。有2种方法；(2)若B不同于F,贝加有1种方法，(I)若C与尸相同则C有1种方法同时。有2种方法；(II)若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时。有2种方法；故此时共有：4321112+1(12+12)=144种方法;综上共有240+216+144=600种方法.【题型二】排列组合数的性质【典题1】解方程(I)C&=C/-3；(2)g=6需一2.【解析】(1)根据题意，若片=Cy-3,则有=2%-3或%+(2%-3)=9,解得=3或4；根据题意，线=6福-2,贝噂*V8有8

13、,且/GN,则有方%=6化简可得：%2-19%+84=0,解得=7或14,(8-x)!(10-x)!又由8,且N,贝J%=7,则方程的解为=7.【点拨】注意工的取值范围.【典题2】化简4+4+a乳.【解析】碉+福+吗=&+4+1+C/1)m!(利用优=箓n收=CX=Cm)71H1=(C爵f+O1+)m!(多次利用了C%=微+CD=+,加(2m+1)!=777Jm1(m+1)!(2m+1)!(m+1)!=2m+1【点拨】掌握组合数C记和排列数4,的关系，多熟悉组合数的性质.巩固练习1 ：)多选题下列等式正确的是()A.(n+1)=X11B.=(n2)!rm_n_D1m+1_tc,4n!n-mAn

14、【答案】ABD【解析】,(n+1)4T=(n+1)71(711).(n-Vd+1),n+11=(H+1)H(H1).(71T+1)，.(九+1)1,故Z成立.二(n2)!,n!_n(n-1)(n-2)3217i(-1)-n(n-1).川_71(71-1)(71-2)(71-m+1)(71-7n)321_71(71-1)(71-2)(71-n+1)nm!(n-m)!-m/(n-m)!一而一Mn(n-1)(n-2)(n-m+1)日”7十一=;，故制W即C不成上.n!n!川11*An+1=/布九(九一1)(九2)(nm)=n(n1)(n2).(nm+1)=故。成立,故选：ABD.)求证：SCik=CSfkN*)；3()设Tn,nEN*,nm,求证:(Tn+I)C弦+(m+2)C股+1+(m+3)C+2+nC11+(n+I)CY=(n+I)C牖.【证明】对任意血N*,当ri=Tn时，左边=(m+I)C凿=Tn+1,右边=(Tn+1)C优=in+1,