(人教A版选择性必修第二、三册)8.2一元线性回归模型及其应用-(教师版).docx

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1、元线性回归模型及其应用知识剖析1一元线性回归模型用工表示父亲身高，y表示儿子身高，e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值。2,则它们之间的关系可以表示为(Y=bx+a+e(E(e)=0,D(e)=2我们称它为y关于的一元线性回归模型.2线性回归方程对于变量和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为(刈，为)，(&/2),，。九，%)，其中X1fx2九和%/2的均值分别为口夕，其中G=(%i一)(%9)=i=1iyi-Tixy1te-)21fe-)2Vd=ybx我们将y=B%+Q称为V关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘

2、法.备注线性回归直线经过定点叵，y).3残差分析通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的夕称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析.通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为0,方差为小的随机变量的观测值.4比较模型的拟合效果(0残差平方和残差平方和Q=IU(%-5)2越小，拟合效果越好.3)相关指数废r2=k(Z(%9)2R2越大，残差平方和IX(%-夕)2越小，模型拟合效果越好.经典例题【题型一】一元线性回

3、归模型【典题11某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价%（元）和销售额y（元）的数据，整理得到下面的散点图:已知销售额y=单价X销量z,根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量Z与单价%的回归方程类型的是（）A.z=a+bxB.z=a+-C.z=a+bx2D.z=a+bexX【解析】由散点图知，销售额y与单价X呈线性关系，不妨设产根+依，所以z=上=空丝=H+%与选项B中的回归方程类型一致.XXX故选：B.【典题2】已知由样本数据（项，%）（i=1,2,3,，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为夕=2%-04且元=2,去除两个歧义点（-2,7）和

4、（2,-7）后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（）A.相关变量,y具有正相关关系B.去除歧义点后的回归直线方程为夕=3%-3.2C.去除歧义点后，随%值增加相关变量y值增加速度变小D.去除歧义点后，样本（4,8.9）的残差为0.1（附：R=yi为【解析】对选项4B：由元=2,代入夕=Ix-0.4,得歹=2x20.4=3.6,（样本中心（工，歹）一定在线性回归方程夕=B%+Q上）去除两个歧义点（2,7）和（2,7）后，得到新的元=二出=:.=3.6）7+7=生8,636又得到新的回归直线的斜率为3,新的线性回归方程的a=4.8-3=-3.2,则去除两个歧义点后的线性回归方程为y=

5、3x-3.2f故B正确;（求出新的样本中心（礼y）,再利用其一定在线性回归方程？=E九+。上求出G）又由斜率30,相关变量,y具有正相关关系，故Z正确；对选项C：原本回归直线方程夕=2%04中%增力口1贝IJy增力口2,去除歧义点后，回归直线方程夕=3%3.2中%增力口1贝Uy增加3,故去除歧义点后，随X值增加相关变量y值增加速度变大，故C错误；对选项当=4时，夕=3X43.2=8.8,则去除歧义点后，样本（4,8.9）的残差为8.98.8=0.1,故。正确.故选：ABD.当月在售二手【典题32023年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易去F逆市”而行.下

6、图是该地某小区2019年12月至2023年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年12月2023年12月）I.(M1.021.0.980.960.94O123456789IOI11213份代码根据散点图选择y=Q+办y和y=C+由九%两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为夕=0.9369+0.0285和夕=0.9554+0.0306/nx,并得到以下一些统计量的值：y=0.9369+0.0285%y=0.9554+0.0306仇第R20.9230.973注：元是样本数据中的平均数，歹是样本数据中y的平均数，则下列说法正确

7、的是（）A.当月在售二手房均价y与月份代码工呈负相关关系B.由夕=0.9369+0.0285预测2023年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C.曲线夕=0.9369+0.0285xy=0.9554+0.0306M%都经过点（元，y）D.模型夕=0.9554+0.0306仇回归曲线的拟合效果比模型y=0.9369+0.0285好【解析】由散点图可知，y随的增加而增加，故4错误；2023年3月，相对2019年12月为=1,此时=16,代入夕=0.9369+0.02851求得1.0509,故3正确；（在实际应用中要注意理解变量小y的实际意义）曲线夕=0.9369+00285jE经过点（/

8、J）,曲线夕=0.9554+0.0306仇%经过点（原J）,故C错误；（样本中心叵，回一定在线性回归方程了=bx+,但题目中的模型y=+b和y=c+dh尤不是线性模型，需要进行变换）因为0.9730,923,所以模型夕=0,9554+0.0306仇回归曲线的拟合效果比模型夕=0,9369+0.0285x的好，故。正确.便2越大，拟合效果越好）故选：BD.巩固练习1某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度%（单位：。的关系，由实验数据得到右面的散点图.由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度的回归方程类型的是（）A.y=a+bxB.y=a+b1nxC.y=a+bexD.y=a+bx2【答案】

9、B【解析】由图知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此最适合作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是y-a+b1nx.故选：B.）2023年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异.如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y（万人）与时间X天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（）IOUUIO203040566U/人A.y=a+bxB.y=a+b4xC.y=a+bexD.y=a+b1nx【答案】C【解析】函数图像随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，属于指数型函数的特征,只有选项C为指数型函数

10、故选：C.3（*）对于一组具有线性相关关系的数据（阳，）。=12,3,，ri）,根据最小二乘法求得回归直线方程为y=5%+。，则以下说法正确的是（）A.预报变量y的值由解释变量唯一确定B.在回归分析中，R2=0.80的模型比A?=0.98的模型拟合效果好C.所有的样本点均落在回归直线夕=5%+8上D.残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高【答案】D【解析】选项A,预报变量由解释变量进行估计，即选项A错误；选项相关系数K越大，说明拟合效果越好，即选项B错误；选项C可能所有的样本点都不在回归直线上，即选项C错误；选项。，在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，

11、则回归方程的预报精确度越高，即选项。正确.故选：D.4（）某生物实验小组设计实验，得到光照强度工与某种植物光合作用速率y的一组数据（阳，%）,经过分析提出了四种回归模型，、四种模型的残差平方和%（%升）2的值分别为048,0.99,0.15,1.23,则拟合效果最好的是（）A.模型B.模型C.模型D.模型【答案】C【解析】残差平方和越小，表示该模型的拟合效果越好，比较四种模型的残差平方和，可知模型的最小，所以其拟合效果最好.故选：C.5（*）4B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹.共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如表：X-0.93-0.82-0.77-0.61-0.55-0.33-

12、0.270.100.420.580.640.670.76y-0.26-0.41-0.45-0.45-0.60-0.67-0.68-0.710.640.550.550.530.46Z小组根据表中数据，直接对y,工作线性回归分析，得到:回归方程为y=0.5993%+0.005,相关指数为=0.4472；B小组先将数据依变换=%2,u=y2进行整理，再对U,作线性回归分析，得到：回归方程为畲=-0.5006u+0.4922,相关指数肥=0.9375.根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（）A.0.5993%-y+0.005=0B.0.5006%+y-0.4922=0-0.50

13、06x2,y2_X20.5006y24C.1=1D.1=10.49220.49220.49220.4922【答案】C【解析】由统计学知识可知，K越大，拟合效果越好，又A小组的相关指数R2=o.4472,B小组的相关指数R2=o.9375,5组的拟合效果好，则回归方程为U=-0.5006w+0.4922,又w=x2,v=y2,.*.y2=-0.5006x2+0.4922,即竺U空+上=10.49220.4922故选：C.“）【多选题】下列说法正确的是（）A.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B.某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%,结果这天没下雨，这表

14、明天气预报并不科学C.回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D.在回归直线方程$=0.1%+10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位【答案】CD【解析】对于A,可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.故A错误；对于5,6月9日本地降水概率为90%,只是表明下雨的可能性是90%,有可能这天不下雨，不能说明天气预报并不科学，故5错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；在回归直线方程，=O.1%+10中，当解释变量X每增加1个单位时，预报变量y增加0.1个单位，故。正确.故选：CD.7（）【多选题】小明同学在做市场调查时得到如下样本数据X13610y8a42他由此得到回归直线的方程为y=-2.1%+155,则下列说法正确的是()A.变量%与y线性负相关B.当=2时可以估计y=11.3C.Q=6D.变量%与y之间是函数关系【答案】ABC【解析】由回归直线的方程为y=-2.b+15.5,可知变量X与y线性负相关，故A正确;当x=2时，y=2.1x2+15.5=11.3,故5正确;代入y=2.b+15.5,得手=2.1X5+15.5,解得=6,故C正确;变量X与y之间具有线性负相关关系