(人教A版选择性必修第二、三册)4.3等比数列及其前n项和-(教师版).docx

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1、等比数列及其前几项和知识剖析1等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为5代数形式：上=式q是常数，2）或皿=式q是常数，N*）an-anEgn-=2（几2）d是公比为2的等比数列；an-皿=3n%是公比为2的等比数列；an皿=4n%不是等比数列；anPS所谓常数就是与几无关；等比数列中麻0,Q0;偶数项的正负、奇数项的正负相同.Eg若1fb1fb2fb3,-4成等比数列,则。.解：状=1X（4）=4劣=2，而=-1,Q2（是等比数列；通项公式法：若数列的通项公式是形如%1=kyk4是不为。常数），则数

2、列%是等比数列；前几项和法：若数列的前几项和是形如S71=/c,妙c（c,6/是常数且左。0,Q0,1）,则数列%1是等比数列.4通项公式等比数列%的首项为的，公比为q,贝b71=c於.（由定义与累乘法可得）5前Ti项和等比数列%1的首项为由,公比为q,则其前几项和为(q=i)!na1的(1一qn)1-Q(由错位相减法可证)注：使用时注意公比是否等于1,若不确定，使用时需要分类讨论.6基本性质(其中Tn,nfp,tEN*)设%J是首项为由,公比为q的等比数列，那么(1)若Tn+n=p+t,贝IJaman=apat;an=amqn-m;(3) qn-m=察am(4)数歹Ua%(4是不为零的常数)

3、仍是公比为q的等比数列；若数列g是公比为t的等比数列，则数列c%是公比为q-t的等比数列；(5)下标成等差数列且公差为Tn的项以fak+mfak+2m,(k,nN*)组成公比为的等比数歹U；(6)若qH-1,则Sr,S2n53九一Szri,成等比数列；Cq=-1,九是偶数时，Sn=0)经典例题【题型一】等比数列的判断与证明【典题11【多选题】已知数列%1是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()B10g2%C.。71。71+1D.“71+Q?1+1+71+2【解析】由题意，可设等比数列时的公比为q(qW0),则QrI=QIq九一1.对于42=卷=NjT.(等比数列通项公式形如指数型即=4班

4、) 数歹U2是一个以上为首项，工为公比的等比数列；anja1q对于B:若%0,贝IJ1og2Q=Iogz(QiQriT)=10g2%+S1)1og20 数列10g2Q是一个以10g2%为首项，Iog2q为公差的等差数列；774-1对于CV+y+2_y+2_%q_2,anan+anC11qn1 数列%1%+是一个以q2为公比的等比数列；nn+n+2nn+n+2对于.71+2+y+3_q(71+y+2)_勺 .数列%1+n+1+q71+2是一个以q为公比的等比数列.故选：ACD.【点拨】判定等比数列常用定义法：皿=q(q是常数，nN*)n%1是等比数列；an等比数列通项公式形如指数型/1=ky%在

5、选择填空题运用.【典题2】已知数列时的前Ti项和为上,且满足%+1=Sr+7i+1(N*),%=1.求证ar+1为等比数列，并求职.【解析】证明：r+=S71+n+1(九N*),(遇到册与Sr1的等式可想到册=户1%_W笛1)当ri2时，an=Sn_1+n两式相减得an+1an=Sn+n+1(Sn-1+n)=n+1,化简得71+=2an+1,an+12cIn+2=2(n+1)(n2),(不要漏了大前提：n2,要证明/1+1为等比数列，还要判断册+1+1=2(册+1)当兀=1时也成立)而对于r+=Sn+n+1(nN*)中当n=1时有的=S1+2=由+2=3,则。2=3fa1=1满足+1=2(n+

6、1),an+1+1=2(CIn+1)(nN*),斯+1为等比数列,首项为%+1=2,公比为2的等比数列,.,.n+1=22n1=2n,an=2n1.【点拨】数列问题中，特别要注意九的取值范围，比如r2TiEN*,要确定好.【典题3】设数列%1的首项的为常数，且%=3n-1-2n,1(2).(1)判断数列。九-三是否为等比数列，请说明理由；(2)Sr1是数列%J的前几项的和，若Sr是递增数列，求的的取值范围.【解析】(1)当九2时，rg=3n-12n-1g=2y2n-1=-2(n-1(定义法证明等比数列，要注意首项由-1是否等于0)当Q1-IW0,即由WI时，3n-=-2,55a-一一1的。I时

7、，5-9为等比数列，公比为2.当%9=0,即的=I时，n-y=0,数列斯专不是等比数列.(2)当%=?时，%=93%为单调递增数列，满足条件.当QiW：时，由(1)可得：Q九一g=(%)(2),若Sr是递增数列，则SrISr0(2),即10(n2),an=(1-)(-2)n1+y0,(问题变成恒成立问题，可想到分离参数法，遇到(-2尸T想到分奇偶数讨论)当Ti为偶数，贝2九(%|)+?0n的I()n+故由0a1-(Iy+故Q1I,(I)+I=_(/=一I,(!)+I是减数列fmax=f(3)-；且由综上可得：:42【点拨】若%1+=2时(N*),不能得到%是等比数列，一定要强调Q1再0才行.巩

8、固练习1 ()根据下列通项能判断数列为等比数列的是()A.an=nB.an=ynC.an=2nD.an=Iog2n【答案】C【解析】在Z中，Qr1=T1是等差数列，不是等比数列，故Z错误；在B中，M=迎既不是等差数列，又不是等比数列，故B错误；在C中，Qr=2n是等比数列，故C正确；在。中，QrI=Iog2几既不是等差数列，又不是等比数列，故。错误.故选：C.!()已知数列%1是等比数列，则下列数列中：碎；2叼；生,等比数列的个数是()A.O个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】数列%1是等比数列，设公比为q,贝叼为常数.3则a1=a1q3n-则驾=或，为常数，故：碎为等比数列.an.筌

9、=2%+%，不是常数，故2。与不是等比数列.率=工=为常数,故;为等比数列，荻叫】qan故选：C.3()在数列Jr中,a1=2,an+1=4anSn+11nN*,证明：数列一九是等比数列.【证明】,Qr1+1=4nSn+1,n+1(n+1)=4(Qr1n),c111=1.数列九一九是等比数列，首项为1,公比为4.4()设Sr1为数列0的前几项和,已知g=7,2q6-q3-1=0(2q3+1)(q31)=0,Q-IQ-IQ-I111131心5*C12*C11q6_2nQ1=8,则Q4QIOQ3+ct1q9=41=5.【点拨】与等差数列差不多，首项的和公比q是等比数列的基本量，通项公式册=%q九T

10、和前几项和公式%=na1(q=1)(1-qy)gW)均与基本量有关；等比数列中的,q,Q71,Sr,九五个量，一般可以“知二求三”，通过条件得到由与q的方程(组)是关键.【典题21【多选题】正项等比数列%的前几项和是土,已知S3=劭+Ioa1,。4=3.下列说法正确的是()A.a1=9B.是递增数列C.Sn+2为等比数列D.1og3QrJ是等比数列Io【解析】,S3=a2+101fa4=3.设首项为由,公比为q,1+2+3=2+10解得卜IW(H=3Iq=3(这里S3=%+做+g，没用等比数列前Tt项和公式，运算简单些)所以%=93九一1=3九一3,故Z错误，B正确；9则SrI=丝U=3九怖，

11、由于右的关系式符合的九T的形式，故C正确3-1IoIo由于%=3九一3,所以1083%=/。033九一3=n3,所以该数列为等差数列，故。错误.故选：BC.【点拨】在等比数列中遇到Sr1若其下标较小，用%=%+时会比等比数列的前几项和公式更好些;本题还是把已知条件向基本量“靠拢”.【典题3】数列%、N均为等比数列，其前几项和分别为无,Tn,若对任意的N*,都有?=学1,Tn4则詈=b4【解析】当九=1时，T1=中=1即o1=bi，114设%的公比分别为q,p，则合黑S=零=等.即2(1+q)=5(1+P),即q=+手当几_3时且一+q+q2_1+q+q2_27+1_7T3b1+b1p+b1p21+p+p24即1+q+q2=7(1+p+p2),将q=I+F代入1+q+q?=7(1+p+犷)得1+|+(|+剪=7(1+p+p2),整理得p24P+3=0,得P=1或3,d1(1-4)九九当P=I时，q=+=4,此时