(人教A版选择性必修第二、三册)5.2导数的几何意义-(教师版).docx

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1、导数的几何意义知识剖析1导数的几何意义函数y=f)在点第=出处的导数的几何意义是曲线y=f)在点P(%o,f(%o)处的切线的斜率，即：曲线y=f(%)在点P(%o,7(&)处的切线，的斜率k=fC),切线1的方程为y-/()=f(%o)(%-0)2”过点九=与在点九=处”的区别曲线C：y=f(%)在点P(%o,y0)处的切线指的是P为切点的切线，如图一;过点P(%ofo)的切线是指切线过点尸，点尸是否切点均可，切线可多条，如图二.经典例题【题型一】在某点处的切线【典题1】函数y=f。)的图象如图所示，(。)是函数f。)的导函数，下列数值排序正确的是()A.(2)(6)(6)-(2)0B.(6

2、)(2)(6)-(2)0C./(6)-/(2)尸f(2)0D.-(2)/(6)-/(2)尸0【解析】根据题意，设M(2J(2)、N(6,f(6)为函数的上的点，贝行(2)为函数f(%)在=2处切线的斜率七，广(6)为函数”吗在%=6处切线的斜率%，/(6)-/(2)=智/为直线MN的斜率七，32结合图象分析可得七k3k20,即尸(2)f(6)/(2)/(6)0；故选：D.【点拨】c=tma,直线越靠近y轴，斜率网越大.【典题2】若直线y=%是曲线f(%)=炉一3%2+q%的切线，则Q=.【解析】依题意得fO)=3x2-6x+a设切点P(%o,yo)则由导数的几何意义可得/(%o)=I=3xq-

3、6x0+=1点P在切线y=%上y0=%。点P在曲线上,y0=xo-3就+ax0()(3%q6x0+a=1y。=%。，解得=1或?y0=*一3就+ax0.Q的值为1或管4【点拨】由于本题不知道切点，由待定系数法的想法，设切点P(%o,y0),它即在切线上又在曲线上，又由导数的几何意义得到了关于Xo,y0,的方程组！【典题3】已知M(1,0),N是曲线y=e%上一点，则IMN1的最小值为.【解析】y=e%的导数为y=ex.设N(Tn,em),可得过N的切线的斜率为e7当MN垂直于切线时，IMN1取得最小值，可得em=-1,即/爪+m-1=0,m-1因为/(%)=/第+%1单调递增，且/(0)=0,

4、所以Tn=0,即N(O,1),所以IMNI的最小值为【点拨】当MN垂直切线时，IMN1取得最小值；如图，MNMAMN1.巩固练习1(*)已知函数f(%)在R上可导，其部分图象如图所示，设k=33,则下列不等式正确的是()x1-2A.kf(%1)f(%2)B.f(%1)kf(%2)C.f(%2)f(%1)kD.f(%1)f(%2)k【答案】B【解析】函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，:f(X)ky=6xx-4就+4切线过点P(T,2).,.-6xq4xq+4=2n2x+3x-1=0解得%o=-1或则切线方程为y=6%+8或y=x+【点拨】本题点P(-1,2)不一定是切点，故可先设

5、切点(%o,2*+4),利用“在某点处的切线”方法求出含参数%。的切线方程，再把点P代入求出工。，进而容易得到切线方程；如何求解方程2瑞+3脂-1=0?方法一拆项分组因式分解2xq+3xq1=03xq+3xq(1+x)=O=3x(x0+1)-(x0+1)(诏一&+1)=。0Oo+1)(2伏一O-I)=OOO+1)2(2x0-1)=O%0=-1或第O=I方法二待定系数法先由方程特点猜出有一个解是)=-1,则可知%o+1是2端+3就-1的因式，设2年+3%o-1=(%o+1)(2x0+mx0-1),把右式展开易得Tn=-1,则2就+3瞪-I=(x0+1)(2瞪-x0-1)=(x0+1)2(2x0-

6、1)X0=-1或%o=I【典题2】若过点P(1,6)可以作三条直线与曲线Uy=相切，则Tn的取值范围是.【解析】y,=(%+1)ex设切点为(o过点P的切线方程为y=(x0+1)ex(x-x0)+x0ex,代入点尸坐标化简为Tn=(-x02-1)?&，即这个方程有三个不等根即可，令/(%)=(2一X一1)e”,求导得到广(%)=(%1)(%+2)e%,函数在(一8,2)上单调递减，在(一2,1)上单调递增，在(一1,+8)上单调递减，故得到f(2)m-m0,XO=2时，y=10.所以方程2xo3-6xo2+7-O有3个解，则过点A(2,1)作曲线八工尸如一3X的切线的条数是3条.3()已知曲线

7、/(%)=4/的一条切线经过点(0,1),求该切线方程.【答案】y=2%1或y=2x1【解析】设切点为(徵，n),产4?的导数为V=8羽则切线的斜率为k=Sm,切线方程为y-=Sm(-m)f代入(0,1)可得=8W一1,又=4m2.则有4m2-1=0,解得m-；或一,则切线的斜率为2或一2.即有过点(0,1)的切线方程为y=2%1或y=-2x1.4()已知函数f(%)=X34x2+5%4,求经过点4(2,一2)的曲线f(%)的切线方程.【答案】y+2=0或y4=0【解析】设切点坐标为夕(。，tz3-42+5-4),*.*(x)=x34x2+5-4,：./(x)=3x2-8x+5,切线的斜率为/

8、()=3/8。+5,由点斜式可得切线方程为y(342+5-4)=(3tz28+5)(-a),又根据已知，切线方程过点A(2,-2),/.2(342+54)=(328+5)(2a),BPa3-5a2-Sa4=0,(一1)(/4+4)=0,即(一1)(。2)2=0,解得。=1或a=2,将a=1和a=2代入可得，切线方程为y+2=0或-j4=0,故经过点A(2,2)的曲线本)的切线方程为y+2=。或%-y-4=0【题型三】两曲线的公切线【典题1】若直线y=k%+b是曲线y=二一2的切线，也是曲线y=靖一1的切线，贝昉=【解析】设直线y=kx+b与y=ex2y=ex1的切点分别为(石，靖】一2)和(亚

9、,ex2-1),则切线分别为yex2=ex2(xx1),yex2+1=ex2(%-x2),化简得：y=ex2x+ex2-x1ex2fy=eX2x+e%2-1-x2exz,(px1px2依题意有：22X.XG由方程得X1=2+比2，代入方程解得第2仇2,则b=e%212ex2-=IInZ1.故答案为：IInZ【点拨】先分别求出两条切线，由于是公切线，所以它们是同一直线，两切线的斜率和y轴上的截距相等.【典题2】若曲线Ci：y=J与曲线C2f=e/W0)存在公共切线，则Q的取值范围为【解析】y=/在点(m,T2)的切线斜率为2,切线方程为y=2m(xm)+m2=2mxm2;y=0e*在点(九，en)的切线斜率为en,切线方程为y=0e71%+(1-)er1;如果两个曲线存在公共切线，那么两切线相同，则有；I-m2=(1-n)enaO,.,.mO,由，得一Tn=2(1n)，即n=2-2,代入2n=Qen得4n4=aen(*),存在公共切线，等价于方程(*)有解，由y=4%4ty-e第的图象有交点即可.设它们刚好相切，切点为P(s),贝IJaeS_4,且t=4s4=aes,解得S=2=4,=e2由图易得要满足题意Q白，e2又Q0,故答案为(-,0