(人教A版必修第一册)3.5.4恒成立和存在性问题-(教师版).docx

《(人教A版必修第一册)3.5.4恒成立和存在性问题-(教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(人教A版必修第一册)3.5.4恒成立和存在性问题-(教师版).docx（8页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、恒成立和存在性问题知识剖析1恒成立和存在性问题(1)单变量的恒成立问题 X/XeD,f(x)。恒成立，贝U(%)x。恒成立，则/(%)rn讥a； XDff(x)g(%)恒成立,则尸(%)=/(%)-g(x)OfMrnaxg(%)恒成立，则F(%)=f(x)-g)0fMmin0；(2)单变量的存在性问题 3x0D,使得/(x0)。成立，则f(x)mina成立,贝IJfO)Maxa； x0ED,使得/(0)g(%o)恒成立,则Fa)=f()-g()0fMmin恒成立，则F(%)=/(%)-g(%)0fMmax0;(3)双变量的恒成立与存在性问题 X1EDf3X2E,使得/(X1)g)恒成立，则f(

2、%)ma%g(%2)恒成立，则f(%)n讥9MminV%1ED,V%2EE,/(%)g(%2)怛成乂,则/(%)Tna%gOOmin；3%1D,m%2EE,使得f(X1)g(%2)恒成立，则/(%)Tn讥%2%+b恒成立，贝帕的取值范围是.【解析】当久二。时，/(%)=0;当W。时，f(%)=黑=-5=P1 1x则/(%)%=P即=由题意知2-%+b在X0,2)上恒成立，即/第+b0在0,2)上恒成立(*),(把不等式中移到右边，使得右边为0,从而构造函数y=g(%)求最值)令g(%)=/一%+b一5则问题(*)等价于在0,2)上g(%)0恒成立，在0,2)上，g(%)g(2)=42+b-=-

3、+b,+b0即b.【点拨】直接构造函数最值法：遇到类似不等式Q)gQ)恒成立问题，可把不等式变形为/(%)-g(%)0,从而构造函数(%)=f()-g(%)求其最值解决恒成立问题；在求函数的最值时，一定要优先考虑函数的定义域；题目中y=g(%)在0,2)上是取不到最大值，g(%)Vg(2)=g+b,而要使得g(%)V0恒成立，+b可等于O即+b0,而不是+b0.2分离参数法【典题1】已知函数/(%)=3%+g+关于点(012)对称，若对任意的1,1,k2x-f(2久)0恒成立，则实数k的取值范围为.【解析】由y=3%+5为奇函数，可得其图象关于(0,0)对称，可得/(%)的图象关于(0对称，函

4、数/(%)=3%+：+关于点(0,12)对称，可得=-12,对任意的-1,1,k2%-f(2%)0恒成立,x-1f12x-32x+120恒成立，【思考：此时若利用最值法，求函数/(%)=M2、32+/一12fxE-1,1的最小值，第一函数较复杂，第二函数含参要分离讨论，路漫漫其修远兮，务必另辟蹊径】即Zc2%32%+12在-1,U恒成立,所以左7-i+3,(使得不等式一边是参数k另一边不含k关于的式子，达到分离参数的目的)令4,由1,1,可得tE,2,设(t)=8t2-12t+3=8-：)当C=2时，h(t)取得最大值11,则k的取值范围是k11,【点拨】分离参数法：遇到类似c(%)g(%)或

5、/c+f(%)g(%)等不等式恒成立问题，可把不等式化简为c(%)或Zcv饮%)的形式，达到分离参数的目的，再求解y=以%)的最值处理恒成立问题；恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.【典题2】已知f(%)=上02(1-Q,2%+4%),其中为常数(1)当/f(O)=2时,求的值；(2)当1,+8)时，关于的不等式f(%)%-1恒成立，试求的取值范围；【解析】(1)/(1)-/(0)=21og2(1-2+4)1og2(1一Q+1)=Iog2431og2(52)=Iog24(2)52a=84aa=-；0g2(12x+4x)X1=1og2

6、2x11-2x+4x2x-1a2+二工，2x2令C=2%,XE1,+).t21+),设“OtI-p则Qh(t)讥，(t)在2,+8)上为增函数nt=2时，以。=t+1有最小值为2,a0恒成立，求久的取值范围.思考痕迹见到本题中气2+(a-4)%-20恒成立潜意识中认为%是变量，a是参数，这样会构造函数f(%)=2+(a-4)x-2af而已知条件是a-1,1,觉得怪怪的做不下去;此时若把a看成变量，看成参数呢？【解析】因为不等式/+(a4)X-2a0恒成立=不等式(-2)a+X2-4%0恒成立，令f(a)=(K-2)a+%24x,若要使得成立，只需要+20I/(1)0(%2-3x-20解得/言亚

7、或三或汽0J(%)=%2，当久e(_1,1)时，有f(%)V共亘成立，求Q的取值范围.思考痕迹本题若用直接最值法，去求函数/(%)=/-e(-1,1)的最大值，就算用高二学到的导数求解也是难度很大的事情；用分离参数法呢？试试也觉得一个硬骨头.看看简单些的想法吧！【解析】不等式/a、0,g(%)=a%不一定是指数函数)又Q0,aW1,解得a11a2或a1,即实数Q的取值范围为百2【点拨】数形结合法：V%O/(%)g(%)恒成立n在久O上，函数y=f(%)的图像在函数y=g(%)图像的下方.遇到不等式(%)O恒成立，可以把不等式化为f(%)0),若对于任意x10,1,总存在期)0,1,使得g(%o

8、)=f(%)成立，贝b的取值范围是【解析】(%)=，当=O时，/(%)=0,当。时，f(%)=r121x+x2由O%1,即一1,(一F-2,.,.00),且g(0)=32a,g(1)=3a.由g(%)递增，可得3-2g(%)3-Q,对于任意X10,1,总存在%。0,1,使得g(%o)=(%)成立，1可得。,U32a,3a,可得巩固练习1()已知1+2、+。必0对一切6(8,1上恒成立，则实数的取值范围是,【答案】(I)【解析】1+2%+4Q0可化为Q磬=2-2%-2-,1令t=?一X,由(-8,1,得t?+),则Q12t,-t2t=-(t+1)2+在g,+8)上递减，当仁2时取得最大值为一1所

9、以Q-T.zr故答案为：(,，+8)2()若不等式2%-1m(x2-1)对满足ITn12的所有n都成立，求的取值范围.【答案】【解析】令/(Zn)=(Jr2-1)加+1-2*;不等式2x1m(21)对满足M2的所有用都成立o对任意-2zn2,(X21)帆+12XVO恒成立/(-2)0。(2)0?解得J%d02x2-2x-103()若不等式3/一og%。在(0)内恒成立，实数Q的取值范围是.【答案】1【解析】不等式3/一1og%0在(0,|)内恒成立；O不等式3/1时，是不能满足题意的；当OQV1时，则需要og(3解得Q104()已知函数f(%)=%2-3%,g(%)=%2_2mx+m,若对任意X1-1,1,总存在&-1,1使得f(%。g(%2)