(人教A版必修第一册)3.5.1二次方程根的分布问题-(教师版).docx

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1、二次方程根的分布问题1概念二次方程%2+办+c=O的根（即二次函数y=ax2+bx+C零点）的分布问题.2常见题型两根与k的大小比较（以O为例）分布情况两根都小于k即T1k,x2k,x2k一根小于k一根大于k,即T1k0b0f0bk2a1(fe)0f(k)O为例）分布情况两根都在O,n）内两根有且仅有一根在（Tn,九）内一根（Tn,九）内，另一根在（P,q）内经典例题【题型一】两根与k的大小比较【典题1若关于的二次方程n%2+(2m-1)x-m+2=0(m0)的两个互异的实根都小于1,则实数Tn的取值范围是【解析】.，关于的二次方程+(2m-1)%-m+2=0(m0)的两个互异的实根都小于1,

2、7O=(2mI)24m(-m+2)O1-2m,(*)1jn0(mO开口向上，O有两根，上网。确定最大根小于1)O苧或Q苧厂即,1求得过了，44、11m2即Tn的范围为,),故答案为：(生当，)【点拨】思考下，要确保题意成立，(*)中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！【典题2】已知二次方程(2n+I)%22mx+(m1)=O有一正根和一负根，求实数Tn的取值范围.【解析】方法一当2n+10时，若要满足题意，必须/(0)0；(注意开口方向)当2n+10；即(2+1)/

3、(0)0(2m+1)(m-1)0,解得一m0若要满足题意，贝IJI/外=赤解得Im1.【点拨】对于一些特殊根的分布问题，我们可灵活采取其他的方法.【题型二】根在区间上的分布【典题1已知关于的二次方程/+2n%+2n+1=0,若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内,则，的范围是.【解析】设/(比)=X2+2mx+2m+1,问题转化为抛物线f(x)=%2+2mx+2n+1与轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)内，则0-12kz(kx(vz(=2m10)aj,解得-擀瓶一/,=4m+20q1故771的范围是(一石/2)-【点拨】需要考虑对称轴位置么？需要讨论判别式

4、么？【典题2】方程m/一(7一1)%+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则Tn的取值范围为【解析】构造函数/(%)=TYix2-(m-1)x+1,图象恒过点(0,1)(能发现/(0)=1很重要，要满足题意只能0,避免讨论m0m-1(m0m1m322./(1)0(m-I)2-4m00【典题3】已知方程/(2。+1)%+矶。+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)之内，则实数的取值范围为.【解析】方法1方程(2+)x+(+1)=O对应的函数为f(%)=x2-(2a+1)x+(+1)若要满足题意，f(0)0(+1)0(a0或Q-1则(f(1)2a+(+1)000(93(2+1)+(+1

5、)0(q3或(%-)%-(+1)=0(发现方程可以直接因式分解求根)方程两根为%=Q,x2=a+1,若要满足题意，则IRV,：,，解得0Q1,故答案是(U).m-1+m2-6m+12m【点拨】显然方法2比方法1更简洁些，主要是因为它能通过因式分解求出的根形式简洁！那前面的例题是否都不可以先求出根再求解呢？我们拿本题型中的典题2看看，很难直接因式分解，利用求根公式得/=%2=0,2m可根据题意要计算00和Tn0与n0和Q0,即图象开口向上，a/+%+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,只需/(0)0,且f(1)0,即20且。+30不可能)若q0,且f(1)0,即20且Q+30,则一3Va0

6、.综上可得。的范围是(一3,0).故答案为：(一3,0).【方法总结】求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？画图时注意二次函数四大因素一开口方向，对称轴，判别式，特殊点.备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与J轴的交点)或某些函数值的正负.对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法.巩固练习1 ()已知关于%的方程/+for+/+上一4=0有两个实数根，且一根大于2,一根小于2,则实数上的取值范围为.【答案】(-3,0)【解析】令/(%)=X2+kx+k2+k4,

7、由题意可得/(2)0,即：22+2c+c2+c-40,整理：c2+3c0,解得一3c0,所以实数Zc的取值范围为(一3,0)；2(支)方程%2(2。)+5。=0的两根都大于2,则实数的取值范围是【答案】5a0,Pja+-50,(竽2(2-a4解得：一50f(0)=-m-20(m-2.J(1)0,.J(1)=-2m-8-4,(/(2)0(/(2)=-3m0Im0则一4m01则有，1二一3,求得5Va学，/(1)=6-a05(3)=16-305(*)若关于的一元二次方程/+%-2=0有两个不相等的实根卬，2,且巧-则实数的取值范围是.【答案】1a1【解析】由题意设/O)=%2+ax2,方程/+ax

8、2=0有两个不相等的实根且1，(T)0囿1a20,(f(1)0,jt1+a-20,解得-1a1,6()求实数Tn的范围，使关于%的方程/+2(-1)%+2n+6=0.有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根a,B，且满足0a1S4;至少有一个正根.【答案】(1)n1(2)；m1(3)Tn-154【解析】设y=f(x)=X2+2(m-1)%+2m+6.CI)依题意有/(2)0,即4+4(n-1)+2n+6VO,得m0(2)依题意有/=4m+50,解得：血O(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：fO(YT1而、a一1或rn5有两个正根，此时可得(,即1m-3-32(m-1)/-0Vrn1有一个正根，一个负根，此时可得/(0)0,得m0,m+2m+1m求证：(1)pf(品)0；(2)方程/(乃=0在(0,1)内恒有解.【答案】(1)nIV-I(2)ImI(3)m0,所以pf(辞y)O时，由(1)知/(舟)V0若厂0,则/(0)0,又/(舟)Qf又/(舟)所以/(X)=O在(晶，1)内有解.因此方程/(%)=0在(0,1)内恒有解.当p0时，同样可以证得结论.