第07讲 行程问题（一）一次相遇及追击问题（解析版）.docx

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1、第07讲行程问题（一）一次相遇及追击问题学习目标掌握行程问题中的一次相遇及追击问题的多种模型必须要会画行程图，便于理解和计算I豳基础知识f：Iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii模块一：简单的相遇及追击问题基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。基本公式：路程=速度X时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和X相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追击问题：追击时间=路程差速度差（写出其他公式）模块二：火车过桥问题1、过桥问题a、完全过桥:指从车头上桥，到车尾离桥的过程。

2、因此这段时间里火车所走的总路程为一个桥长加上车长。如图所示：b、完全在桥上:车尾上桥到车头开始离桥的过程。因此这段时间里火车所走的总路程为一个桥长减去车长。如图所示：2、错车问题a、人错车相遇问题错车过程为:人看到火车头开始直到人看到车尾结束。相当于车尾与人进行相遇问题。基本公式：（车速+人速）X错车时间=总路程（人看到车的车长）追及问题错车过程为:车头追上人开始直到车尾离开人结束。相当于车尾与人进行追及问题。基本公式：（车速.人速）X错车时间=路程差（人看到车的车长）b、车错车（相遇问题错车过程为:两车头见面开始直到两车尾见面结束。相当于车尾与车尾进行相遇问题。基本公式：（甲车速+乙车速）X

3、错车时间=总路程（两车车长和）追及问题错车过程为:快车车头与慢车车尾假面开始到快车车尾离开慢车车头相当于快车车尾与慢车车头进行追及问题。基本公式：（快车速慢车速）X错车时间=路程差（两车车长和）模块三：流水行船问题流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1）逆水速度=船速水速（2）这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。公式

4、（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：水速=顺水速度-船速（3）船速=顺水速度-水速（4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度（5）船速=逆水速度+水速（6）这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水

5、速度就是船速与水速之和,逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：船速=（顺水速度+逆水速度）2（7）水速=（顺水速度-逆水速度）2（8）jQ考点剖析f:I1111i11111111111111111111111111111111111模块一：简单的相遇及追击问题例1.客车与货车从a、B两地同时相向而行，在距离中点30千米处相遇。已知两车的速度比是3：2,求A、B两地之间的路程是多少千米?【答案】300千米【分析】A、B两地之间的路程看作单位“1”，两车相遇时，相遇时两车的速度比就是所行的路程比，货车212行了全程的F,到中点还有30千米，因此，30千米占全程的（工-F）,根据分数

6、除法的意义，用3+223+21230千米除以（5-而）就是A、B两地之间的路程。12【详解】30（5市）=30（）2554=30（）1010=30-10=3010=300（千米）答：A、B两地之间的路程是300千米。【点睛】根据两车的相遇点及所行的距离比，求出30千米占全程的几分之几是关键。例2.在比例尺是:的地图上,量得甲、乙两地的距离是25cm,甲车每小时行驶54km,乙车每小时NUUUUUU行驶46km,几小时后相遇？【答案】5小时【分析】先根据“实际距离=图上距离：比例尺”代入数据，求出甲、乙两地的路程；然后根据“路程速度之和=相遇时间，代入数据，列式解答即可。【详解】25-=2520

7、00000=50000000（Cm）200000050000000cm=500km500（54+46）=500100=5（小时）【点睛】此题关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，理解速度、时间、路程之间的关系。例3.甲、乙两站相距360千米，一列快车和一列慢车分别从两站同时相对而行，3.6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是3：2,慢车每小时行多少千米？快车行完全程要几小时？【答案】40千米；6小时【分析】先根据“路程时间=速度和”求出快车和慢车的速度和；再把速度和按3：2分配分别求出两车的速度；最后根据“路程速度=时间”求出快车行完全程的时间。【详解】3603.6=100（千米/时）100（

8、3+2）=20（千米/时）快车的速度：203=60（千米/时）慢车的速度20x2=40（千米/时）36060=6（小时）答：慢车每小时行40千米，快车行完全程要6小时。【点睛】明确相遇问题中的数量关系式及按比分配的方法是解决此题的关键。例4.小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：OO同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？【答案】7：25【分析】先求出小钱后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速

9、步行的小塘的那一段路的时间,就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间,就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。【详解】原来小钱的速度：现在小钱的速度=1：2原来用的时间：现在用的时间=2：17时46分一7时40分=6（分钟）取马克笔路上用的时间：62=3（分钟）小钱在路上的时间：8时一7时40分一6分=14（分钟）拿好笔回学校的时间：14-6-3=5（分钟）第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5-3=2（分钟）从第一次遇见小塘到学校的时间：8时一7时46分=14（分钟）142=7（分钟）57=35（分钟）

10、8时一35分=25（分钟）小塘从家里出发的时间：7：25答：小塘是7：25从家里出发的。【点睛】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。答：好马20天能追上劣马。模块二：火车过桥问题【例1】一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。这条隧道长多少米？【解析】分析先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。火车从车头进洞到车尾离洞，共走车长+隧道长。这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。解：（1）火车40秒所行路程：840=320（米）（2）隧道长度:320-200=120（米）答：这条隧道长120米。【例2】两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都

11、以每秒1米的速度相对而行。一列火车开来，全列车从甲身边开过用了10秒。3分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用了9秒。火车离开乙多少时间后两人相遇？解：（1）求车速（车速-1）X1O=IoX车速-Io=车长（车速+1）X9=9x车速+9二车长比较上面两式可知车速是每秒19米。（2） A3至UB3的路程，即车遇到乙时车与甲的路程差，也是甲与乙的相距距离。（19-1）X（10+190）=3420（米）（3） A4至UB4的路程，即车从乙身边过时甲乙之间的路程。3420-（1+1）9=3402（米）（4）车离开乙后，甲乙两人相遇的时间为3402（1+1）=1701（秒）答：火车离开乙1701秒后

12、两人相遇模块三：流水行船问题例1.甲、乙两船，甲船静水速度是水速的倍，乙船静水速度是水速的7倍。两船分别从A、B两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇。如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？【答案】13小时【分析】本题中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B两个码头之间的距离都不知道，只知道甲、乙两船的速度和水速之间的关系，所以我们可以把水速设为1千米/小时，则甲船的速度是11x1=（千米/小时），乙船的速度是：7x1=7（千米/小时），两船出发后6小时第一次相遇，所以A、B两个码头之间的距离是6x（11+7）=108（千米）甲、乙两船相遇后，甲船

13、还需要再行驶（108-126）12=3（小时）到达B码头，乙船已经离开B码头：（6+3）X（71）=54（千米），正好走了一半的路程，乙船还需要再行驶9小时才能到达A码头，甲船在这9小时的时间内逆流而上行驶了：9（111）=90（千米），离A码头还有10890=18（千米），甲船继续逆流而上，乙船顺利而下，两船变成了相遇问题，相遇时间=18（11+7）=1（小时），所以第一次相遇与第二次相遇之间时间是：9+3+1=13（小时）。【详解】（108-126）12+6=（10872）12+6=3612+6=3+6=9（小时）1089（111）（11+7）=10891018=1089018=1818=

14、1（小时）9+3+1=13（小时）答：第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇。【点睛】我们可以把水速设为1千米/小时，甲、乙两船的速度在变化，所以逐步分析两船行驶的路程和速度。例2.某人在河里游泳，逆流而上。他在A处丢失一只水壶，但向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处IOOO米的地方追到。假定此人在静水中的游泳速度为每分钟30米，那么水流的速度为每分钟多少米？【答案】25米/分【分析】有题意可知：水壶的速度就是水流的速度，在A处丢失一只水壶后，水壶会顺着水流的速度向下漂，人继续逆流而上，人和水壶的速度和就是人在静水中游泳的速度，所以20分钟后，人和水壶之间是距离是：2

15、030=600（米），此后人返回去追水壶，变成了追及问题，此时人的速度是人在静水中的速度+水流速度，水壶的速度还是水流速度，所以人和水壶的速度差还是人在静水中的速度，即可求出人追上水壶的时间60030=20（分钟），水壶所走的路程是1000米，所用的时间是20+20=40（分钟），进而就可求出水壶的速度即水流的速度。【详解】203030=20（分钟）1000(20+20)100040=25（米/分）答：水流的速度为每分钟25米。【点睛】此题关键是理清不管是人和水壶的速度差还是速度和都是人在静水中的速度。1可过关检测|I111i11111111111111111111i1111111111111111.一列快车全长250米，每秒行15米；一列慢车全长263米，每秒行12米。（1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？（2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾