第1章 数的整除全章复习与测试（解析版）.docx

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1、第1章数的整除全章复习与测试【知识梳理】1整数E整数自然数零负整数2.整除：整数a除以整数b,若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件:除数、被除数都是整数商是整数且余数为零.三整一零.整除与除尽的关系区另IJ整除：被除数、除数、商都是整数，且余数为零；除尽：被除数、除数、商不一定是整数，没有余数.联系：整除是除尽的特殊形式.3.因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数(约数).因数与倍数互相依存；因数与倍数的特征：一个整数的因数中最小因数为1,最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数彳禺数(2n

2、)；(否则是奇数(2nT)、特征：个位上是0,2,4,6,8.能5整除的数的特征：个位上数字是0,5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0,且各个数位上数字之和能被3整除1：只有一个因数；5.正整数素数：只有1和它本身两个因数；合数：除了1和它本身以外还有别的因数6.合数分解素因数素因数：每个合数都可写成几个素数积的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫这个合数的素因数；分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示.方法：短除法；树枝分解法；口算法；机算法.定义:几个数

3、公有的因数，叫这几个数的公因数；其中最大的7公因数最大公因数一个叫这几个数的最大公因数；求法：枚举法；分解素因数法；短除法.8.区另U互素：指两个整数只有公因数1这两个整数不一定是素数.素数：只有1和它本身两个因数；定义：几个整数的公有的倍数，叫它们的公倍数；其中最小的一个叫它们的最小公倍数；9公倍数最小公倍数10.重要结论：最小公倍数的求法1 .一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2 .分解素因数法；3 .短除法.4 .特殊情况：两个数互素；两个连续的正整数.若。是的因数，则它们的最大公因数为。，最小公倍数为6若与互素，则它们的最大公因数为1,最小公倍数为H.【考点剖析】数的整除（共7小题）1.

4、 （2023秋闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A, 25和50B.42和3C.10和4D.9和1.5【分析】根据整除的定义计算即可.【解答】解：A,5025=2,本选项符合题意；B, 3+42=吉，本选项不符合题意；c,4IO=2,本选项不符合题意；5D,159=j本选项不符合题意；6故选：A.【点评】本题主要考查整除的计算，理解整除的定义是解题关键.2.（2023秋徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（）32能被4整除；1.5能被0.5整除;13能整除13；O能整除5；25不能被5整除；0.3不能整除24.A.2个B.3个C.4个D.5个【分析】根据整除的定

5、义逐一分析判断即可.【解答】解：32能被4整除，说法正确；1.5不能被0.5整除，说法错误；13能整除13,说法正确；0不能整除5,说法错误；25能被5整除，说法错误；0.3不能整除24,说法正确.说法正确的有3个.故选：B.1. 评】本题考查了数的整除，若整数。除以非零整数4商为整数，且余数为零，我们就说。能被人整除（或说方能整除整除。）整除，。为被除数，为除数.3. （2023秋徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是10.【分析】根据能被2,5整除的数的特征，可以得到：最小正整数的个位不能是5,只能是0,因为是最小的正整数，所以十位上的数字是1,则可解答.【解答】解：根据能被

6、2,5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10.故答案为：10.【点评】本题主要考查整除的性质及应用，解答的关键是明确能被2、5整除的数的特征.4. （2023秋宝山区期中）在能够同时被2和5整除的所有两位数中，最大的是90.【分析】先确定能够同时被2和5整除的所有两位数，然后作出判断即可.【解答】解：能够同时被2和5整除的所有两位数是10,20,30,40,50,60,70,80,90.故最大的是90.故答案为：90.【点评】本题考查了数的整除，若整数除以非零整数协商为整数，且余数为零，我们就说能被整除整除（或说方能整除整除。），。为被除数，方为除数.5. （202

7、3秋奉贤区校级期中）能同时被2、5整除的最大两位数是90.【分析】根据整除的含义，可得：能同时被2和5整除的数的个位上是0,所以正整数中，能同时被2和5整除的最大的两位数是90.【解答】解：因为能同时被2和5整除的数的个位上是0,所以正整数中，能同时被2和5整除的最大的两位数是90.故答案为：90.【点评】此题主要考查了整除的性质及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能同时被2和5整除的数的个位上是0.6. （2023秋宝山区校级月考）能整除16的数有1,2,4,8,16.【分析】根据有理数除法的计算法则得出16能被哪些数整除即可.【解答】解：V16=116=28=44,能整除16的数有

8、1,2,4,8,16,故答案为：1,2,4,8,16.【点评】本题考查整除的性质及应用，理解整除的意义是正确解答的关键.7. （2023秋徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书孙子算经中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”.这道题目可以译为：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题.表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70）,能被3和7整除而被5除余1的数（21）,能被3和5整

9、除而被7除余1的数（15）,然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70X2+21X3+15X2=233.最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105,如果得出的差还是比105大，就再减去105,一直到得数比105小为止.233-105X2=23.这就是适合条件的最小的数.同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小自然数.【分析】先分别求出能被6和7整除而被5除余1的数（126）,能被5和7整除而被6除余1的数（175）,能被5和6整除而被7除余1的数（120）,然后用被

10、5、6、7除所得的余数（即3、4、1）分别去乘这三个数，再相加，也就是126义3+175义4+120义1=1198.最后从98中减去5、6、7的最小公倍数210,如果得出的差还是比210大，就再减去210,一直到得数比210小为止.1198-210X5=148.这就是适合条件的最小的数.【解答】解：能被6和7整除而被5除余1的数(126),能被5和7整除而被6除余1的数(175),能被5和6整除而被7除余1的数(120),1263+1754+1201=378+700+120=1198.1198-210X5=1198-1050=148.答：适合条件的最小自然数是148.【点评】本题考查了数的整除

11、，最小公倍数，关键是熟练掌握“中国剩余定理”.二.因数(共7小题)8. (2023秋闵行区校级期中)16的所有因数的和是31.【分析】先写出16的所有因数，再求和.【解答】解：16的因数有：1,2,4,8,16.所以1+2+4+8+16=31,故答案为：31.【点评】本题考查求一个数的因数，解题的关键是掌握因数的求法，如相乘法、短除法、配对法等.9. (2023秋青浦区期中)24的因数有1,2,3,4,6,8,12,24.【分析】两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数因数，根据定义直接写出即可.【解答】解：24的因数有1,2,3,4,6,8,12,24.故答案为：1,2,3,4,6,8,1

12、2,24.【点评】本题考查了因数，解题的关键是掌握因数的定义.10. (2023秋徐汇区校级期中)规定一种新运算：对于不小于3的正整数%表示不是的因数的最小正整数，如5的因数是1和5,所以(5)=2；再如(8)的因数是1、2、4和8,所以(8)=3等等,请你在理解这种新运算的基础上，求(9)+(12)=7.【分析】直接利用新定义得出(9)=2,(12)=5,进而得出答案.【解答】解：对于不小于3的正整数期()表示不是的因数的最小正整数，9的因数有：13,9,.(9)=2,T2的因数有:1,2,3,4,6,12,(12)=5,(9)+(12)=2+5=7.故答案为：7.【点评】此题主要考查了一个

13、数的因数的个数，正确理解题意是解题关键.11. （2023秋嘉定区期中）18的因数有1、2、3、6、9、18.【分析】先写出18的因数：18=118,2X9,3义6因此18的因数有1,2,3,6,9,18解答即可.【解答】解：根据因数的定义，可得18的因数有：1、2、3、6、9、18.故答案为：1、2、3、6、9、18.【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键.12. （2023秋青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数m我们把小于。的正的因数叫做。的真因数.如10的正因数有1、2、5、10,其中1、2、5是10的真因数.把一个自然数。的所有真因数的和除以。，

14、所得的商叫做的“完美指标”.所以，16的“完美指标”是K.一【分析】先确定16的真因数，然后根据新定义求解即可.【解答】解：16的因数为1,2,4,8,16,16的真因数为12,4,8,16的“完美指标”是（1+2+4+8）16=耳16故答案为：-1.16【点评】本题考查了因数，解题的关键掌握因数的定义确定。的因数.13. （2023秋杨浦区期中）8的因数有1、2、4、8.【分析】先写出8的因数：8=1X8,2X4因此8的因数有1,2,4,8解答即可.【解答】解：8的因数有：1、2、4、8.故答案为：1、2、4、8.【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键.14. （2023秋长宁区校级期中）规定用A表示数A的因数的个数，例如4=3,计算（84-51）91【分析】先求出84,51,91的因数,分别确定84、51、91的值,再计算即可.【解答】解：84=184=242=328=421=614=7X12,84的因数的个数为12,.,.84=12；51=151=317,51的因数的个数为4,51=4;91=191=137,91的因数的个数为4,91=4；J（84-51）91=（12-4）4=84=2,故答案为：2.【点评】此题考查了有理数的混合运算、新定义，弄清题中的新定义是解本题的关