第03讲 锐角三角比（3种题型）（解析版）.docx

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1、第03讲锐角三角比（3种题型）1锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.BPtanA=NAfi勺对边斜边余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即COtA=Y?鬻;N加勺对边正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即SinA=余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即COSA=乙船勺邻边斜边2.性质当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小;若ZA+ZB=90,贝IJtanA=cotB;sinA=cosB

2、；tanAcotA=1.已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角.3.特殊角的三角比a=30。a=60。a=45tana331cota百331Sina23222cosa322224.锐角的三角比一.锐角三角函数的定义（共6小题）1. （2023春浦东新区校级期中）在RtZA5C中，ZC=90o,AB=5,AC=4.下列四个选项，正确的是（）A.tanB=-B.COtB=AC.sinB=AD.cosB=A4355【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可.【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC=ab2,ac2=52.42=3,tanB=-=A,BC3cotB=-,tan

3、B4sinB=-=A,AB5CoSB=区=旦，AB5故选：C.【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握COtB=-I-是解题的关键.tanB2. （2023秋浦东新区校级期末）已知在RtAABC中，NC=90,AB=5,AC=4,那么下列式子中正确的是（）A.sinA=AB.cosA=AC.tanA=AD.CotA=匹5555【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可.【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90o,AB=5,AC=4,Bc=ab2-ac2=52-42=3,.sinA=幽=3,故A不符合题意；AB5cosA=-=A,故B符合题意；AB

4、5tanA=旦=色，故C不符合题意；AC4COtA=里_=2，故。不符合题意；BC3故选：B.【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.3. （2023秋崇明区期末）在RtZA5C中，ZC=90o,AB=2,AC=I,那么CoSB的值是（）A.亚B.近C.AD.2222【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可.【解答】解：在RtZkABC中，ZC=90o,AB=2,AC=1BC=7ab2-ac2=V22-12=M,.COSB=I_=2Z,AB2故选：B.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的

5、关键.4. （2023秋青浦区期末）在aABC中，ZC=90o,如果tanNA=2,AC=3,那么BC=6.【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：在AABC中，ZC=90o,tanZA=2,AC=3,.*.BC=ACtanZA=32=6,故答案为：6.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键.5. （2023秋宝山区期末）在RtZkABC中，ZC=90o,如果空萼，那么SinA的值是A.BC4-5一【分析】根据题意设AC=3左，则BC=4比由勾股定理求出AB再根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：由于在RtZA5C中，

6、ZC=90o,至萼，BC4可设AC=3左，则BC=4左，由勾股定理可得，ABAC2+BC=5k,.*.SinA=旦一=&,AB5故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键.6. （2023秋浦东新区期末）如果在平面直角坐标系Xoy中，点P的坐标为（3,4）,射线OP与X轴的正半轴所夹的角为,那么的余弦值等于3.一5一【分析】画出图形，根据勾股定理求出Oa根据锐角三角函数的定义求出即可.解：过P作R11x轴于A,VP（3,4）,.7=4,0A=3,由勾股定理得：OP=5,的余弦值是丝=旦，OP5过答案为：1.5【点评】本题考查了勾股定理

7、和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力.二.特殊角的三角函数值（共6小题）7. （2023秋松江区期末）已知Sina=返，那么锐角的度数是（）2A.30oB.45oC.60oD.75【分析】根据sin600=Y1解答.2【解答】解：sin60。=YI,260,故选：C.【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.8. （2023春徐汇区校级期中）30的正切值等于近.3【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.【解答】解：30的正切值等于近.3故答案为：正切.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.9. （2023秋浦东

8、新区校级期末）计算：3cot60o+2sin45o=F&_.【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答.【解答】解：3cot60o+2sin45o=3+22Z32=、厄+、反，故答案为：3+2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.10. （2023秋黄浦区期末）在RtZABC中，ZC=90o,如果空那么NB=60AB2【分析】根据NB的正弦值即可判断.【解答】解：在RtZkABC中，ZC=90o,如果以=Z,AB2那么Sii1g=曳=F，AB2.*.ZB=60o，故答案为：60.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关

9、键.I1（2023秋鼎定区期末）计算：tan60pcot30+一.一+2ICCIS600-1Cot45+2sn45【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【解答】解：tan60cot30+噂，。+2CoS60。-1|cot45+2sn45=M3H2y-1I1+2X与=3+2-1+1=3+2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.12. （2023秋崇明区期末）计算:3tan30o+2cos45o-2sin60ocot45o.【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【解答】解：3tan30o+2cos45o-2sin60ocot45.=3义爽-+

10、2乂逗-21322=遥+2-3=2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.三.计算器一三角函数（共2小题）13. （2017秋青浦区校级月考）按键MOQEMODE1,使科学计算器显示。后，求sin90的值,以下按键顺序正确的是（）A.sin9OOz=B.9sin=C.sin90,=D.90zSin=【分析】要求熟练应用计算器.【解答】解：显示器显示。后，即弧度制；求sin90的值,需按顺序按下：sin,9,O=.故选：C.【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算.14. （2017秋青浦区校级月考）（1）验证下列两组数值的关系：2si

11、n30ocos30与sin60o；2sin22.5ocos22.5o与sin45.（2）用一句话概括上面的关系.（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立.（4）如果结论成立，试用（！表示一个锐角，写出这个关系式.【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用表示一个锐角，写出这个关系式即可.【解答】解：（1）.2sin30cos30=21返=返，sin60o=返.22222sin22.5ocos22.520.380.920.7,sin45o=亚心0.7,2.,.2sin30ocos30o=s

12、in60o，2sin22.5ocos22.5=sin45o；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值;（3） 2sin15ocos1520.260.97A,sin30o=工；22故结论成立;（4） 2sincos=sin2.【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键.Q巩固提升一、选择题1 .（闵行2023期末1）如果把RtAABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A.都缩小到原来的n倍B.都扩大到原来的n倍；C,都没有变化D.不同三角比的变化不一致.【答案】C【解析】解：各边都扩大n倍，新三角形与原三角形的对应边的比为n：1

13、,J两三角形相似，JNA的三角比值不变，故答案为C.2 .（虹口2023模1）如果COSa=1，那么锐角。的度数为（）2A.30；B.45；C.60；D.90.【答案】C；【解析】解：因为cos。=，所以=60.故答案选C.23.（2019新竹园9月考5）在RtaABC中，ZC=90o,CD是高，如果AD=m,NA=,那么BC的长为（）A. mtancosB. mcotOCcosOcmtancfCOSdfD.mtancfsincf【答案】C；【解析】解：.在RtaABC中，ZC=90o，CD是高，AD=m,ZA=,tan=二,.*.CD=mtan,ADmVZACB=ZA+ZB=90o,ZBDC

14、=ZB+ZBCD=90o，ZA=,ZBCD=a,cosZBCD=H=,即COSBCBCmtancfmtanaa=，ABC=，故选C.BCcosa4.（青浦2023一模3）在Rt力优中，Z690o,J61,AB=3,则下列结论正确的是（）A.sinB=；4C. tanB=-;4D. cotB=.45.（松江2023模6）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5,那么Sina的值为（3A.一41B.一22C.一33D.一2【答案】C；【解析】解：如图示：作CD交切于。点，AD1CD交切于点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有A5=AE,AD=I,.AB=AE=-smaOB_2-