2021级-《复变函数与积分变换》课程大纲（沈纪苹）新版.docx

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1、复变函数与积分变换课程教学大纲一、课程基本信息英文名称Comp1exVariab1es&Integra1Transformation课程代码UMCP2001课程性质专业选修课程授课对象车辆工程专业学分3.0学时54主讲教师沈纪苹、沈铃修订日期2023.02.06指定教材刘子瑞，徐忠昌.复变函数与积分变换(第二版).北京：科学出版社,2011.二、课程目标(-)总体目标复变函数与积分变换是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课，其理论和方法广泛应用于车辆工程、机械工程等相关学科，已成为解决众多理论和实际问题的强有力工具。通过本课程的学习，使学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理

2、及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，培养学生运算能力，能运用亚变函数与积分变换的方法有效系统地解决一些问题，逐步培养学生建立比较复杂的数学模型的能力，在此基础上，进一步提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续专业基础课程的学习打下必要的理论知识基础。(二)课程目标课程目标1:掌握好数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、Fourier变换和1aP1aCe变换的基本概念、理论、方法和某些相关应用，为进一步学习打下坚实的理论基础；课程目标2：掌握复变函数与积分变换的数学理论体系，熟悉基本概念和定理的几何背景和实际应用背景，具有综合运用各种数学方法分析

3、解决简单车辆、机械等工程实际问题的能力。(H)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1和毕业要求2。毕业要求1:工程知识能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决车辆复杂工程问题。毕业要求2：问题分析能够应用数学、自然科学和车辆工程的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析车辆复杂工程问题，以获得有效结论。表1:课程目标与毕业要求的对应关系表要求课程目标毕业要求1毕业要求2课程目标1课程目标2表2：课程目标与课程内容的对应关系表课程目标对应课程内容课程目标1第一章一第七章课程目标2第一章一第七章三、教学内容第一章复数与复变函数1.教学目标（1）熟悉更数概念

4、及各种几何表示，掌握复数的四则运算、乘哥、方根、共枕等运算并能简单应用；（2） 了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法；（3） 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。（4） 学重难点重点：（1）复数有关概念；（2）复数的各种表示方法；（3）复数的运算;（4）复变函数的极限和连续。难点：（1）复数的辐角的概念；（2）复数的运算；（3）复数区域的表示；（4）从映射的角度理解复变函数。(1)复数的概念、运算及几何表示；(2)复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示；(3)

5、复变函数的概念及其复:变函数的极限与连续性。4 .教学方法讲授、PB1、讨论、自学5 .教学评价回答问题：(1)叙述友数概念及各种表示方法。(2)什么是复平面上的区域、曲线？如何用复数表示它们？(3)叙述复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，指出复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。第二章解析函数6 .教学目标(1)理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则；(2)熟练掌握复变函数可导与解析的判别法，掌握并灵活运用柯西-黎曼方程，能利用柯西-黎曼方程判定复变函数的解析性及证明解析函数的一些基本性质；(3)熟悉基本初等函数的定义

6、，了解它们的性质，尤其是指数函数的定义、性质及与其它基本初等函数的关系。7 .教学重难点重点：(1)复变函数导数的概念；(2)解析函数的定义以及函数解析性的判断；(3)初等函数的性质。难点：(1)解析函数的概念；(2)函数解析性的判断；(3)多值初值函数及其主值。8 .教学内容(1)复变函数的导数及解析函数的概念；(2)复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质；(3)初等函数。9 .教学方法回答问题：（1）叙述复变函数的导数及解析函数的概念，叙述复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。（2）叙述复变函数可导与解析的判别法，叙述如何利用柯西-黎曼方程判定复变函数的解析性

7、及证明解析函数的一些基本性质。（3）叙述各类基本初等函数的定义及性质，指出指数函数的定义、性质及与其它基本初等函数的关系。第三章复变函数的积分1 .教学目标（1）熟悉复积分的概念及基本性质，理解复积分的曲线积分法，掌握并熟练运用复积分计算的参数方程法和积分估值公式；（2）理解柯西古萨基本定理及推广复合闭路定理，了解复变函数的原函数存在定理及牛顿-莱布尼兹公式；（3）熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解解析函数的平均值定理、无穷可微性等性质，掌握并能灵活运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分；（4）理解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系及由已知调和函数求以其为实部或虚部的解析函数的方法

8、。2 .教学重难点重点：（1）复变函数积分的概念和性质；（2）柯西定理；（3）柯西积分定理与解析函数的高阶导数；（4）调和函数与解析函数的关系。难点：利用柯西定理、柯西积分定理与解析函数的高阶导数及复变函数积分的定义求复变函数的积分。3 .教学内容（1）更积分的概念、性质与计算方法；（2）柯西-古萨基本定理及推广；（3）柯西积分公式及推论；（4）解析函数与调和函数的关系。4 .教学方法回答问题：（1）叙述复积分的概念及基本性质，叙述复积分的曲线积分法。如何运用复积分计算的参数方程法和积分估值公式？（2）叙述柯西古萨基本定理及推广复合闭路定理，叙述复变函数的原函数存在定理及牛顿-莱布尼兹公式。（

9、3）叙述柯西积分公式及高阶导数公式，如何灵活运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分？（4）什么是调和函数？叙述解析函数与调和函数的关系及由已知调和函数求以其为实部或虚部的解析函数的方法。第四章级数1 .教学目标（1）了解复数列极限、复级数收敛、发散概念，与高等数学中相应内容的关系；（2）熟悉哥级数概念，理解Abe1定理，掌握幕级数收敛半径求法、鼎级数的运算及性质；（3）理解泰勒展开定理，熟练掌握函数展开成事级数（泰勒级数）的直接展开法和间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在指定点展开成吊级数（泰勒级数），并会确定收敛半径；（4）熟悉双边幕级数概念和性质，理解洛朗展开定理，掌握函数展开成洛朗级数

10、的问接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在不同圆环内展开成洛朗级数。2 .教学重难点重点：（1）免数项级数收敛的条件，级数绝对收敛和条件收敛；（2）辕级数的收敛半径求法；（3）泰勒级数及函数展开成泰勒级数；（4）洛朗级数和把函数在不同的圆环域内展开成洛朗级数。难点：（1）在圆域内把函数展开成泰勒级数；（2）在圆环域内把函数展开成洛朗级数。3 .教学内容（1）复数项级数（2）累级数；（3）泰勒级数；（4）洛朗级数。4 .教学方法5 .教学评价回答问题：（1）叙述复数列极限、复级数收敛、发散概念，与高等数学中相应内容的关系；（2）叙述幕级数概念、Abe1定理，掌握幕级数收敛半径求法、幕级数的运算及

11、性质；（3）叙述泰勒展开定理，叙述函数展开成累级数（泰勒级数）的直接展开法和间接展开法，如何教一些解析函数在指定点展开成箱级数（泰勒级数），并会确定收敛半径;（4）叙述双边幕级数概念和性质，叙述洛朗展开定理，叙述函数展开成洛朗级数的间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在不同圆环内展开成洛朗级数。第五章留数1 .教学目标（1） 了解孤立奇点的定义、分类及特征，熟悉零点与极点的关系；（2）理解留数概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法；（3）掌握利用留数定理计算闭路复积分的方法，了解应用留数定理计算定积分的方法。2 .教学重难点重点：（1）孤立奇点的三种类型；（2）留数计算。难点

12、：（1）孤立奇点三种类型的判定；（3）用留数计算定积分。3 .教学内容（1）孤立奇点的定义及分类；（2）留数的定义及计算；（3）留数定理及应用。4 .教学方法讲授、PB1、讨论、自学5 .教学评价回答问题：（1）叙述孤立奇点的定义、分类及特征，叙述零点与极点的关系。（2）什么是留数？计算极点处留数的方法有哪些？（3）举例说明怎样利用留数计算定积分。第六章傅里叶积分变换1 .教学目标（1） 了解周期函数的FOUrier级数形式，熟悉FOUrier积分定理，了解FoUrier积分公式的三角形式，FOUrier正弦、余弦积分公式；(2)理解FOUrier变换及其逆变换的概念，理解单位脉冲函数的概念及

13、性质，掌握些常用函数的FoUrier变换及其逆变换的求法；(3) 了解FOUrier变换的性质及卷积定理，能利用FOUrier变换的性质求函数的FOUrier变换及其逆变换，并能应用FoUrier变换求解某些积分方程。2 .教学重难点重点：(1) FOUrier变换与逆变换的概念；(2) FoUrier变换的性质及应用。难点：(1)求函数的FOUrier变换与逆变换；(2)求函数的广义FOUrier变换。3 .教学内容(1) Fourier积分与Fourier积分定理；(2) Fourier变换与Fourier逆变换；(3) FoUrier变换的性质及卷积；(4)广义FoUrier变换。4 .

14、教学方法讲授、PB1、讨论、自学5 .教学评价回答问题：(1)叙述Fourier积分定理。(2)叙述FOUrier变换及其逆变换的概念，叙述单位脉冲函数的概念及性质，什么是广义Fourier变换？(3)叙述FoUrier变换的性质及卷积定理。第七章拉普拉斯变换1 .教学目标(1) 了解1ap1ace变换的概念及与Fourier变换的联系与区别，理解1apIace变换及其逆变换的概念，熟悉1aPIaCe变换存在定理，掌握一些基本函数的1aP1aCe变换；(2)掌握1叩IaCe变换的性质及卷积定理，熟练运用1aP1aCe变换的性质求函数的1ap1ace变换及逆变换；(3) 了解反演积分公式，熟练掌

15、握用留数求1aP1aCe逆变换的方法；(4)熟练掌握应用1ap1ace变换求解常系数线性微分方程的方法，掌握某些积分方程的1aP1aCe变换解法。重点：(1) 1ap1ace变换的概念；(2) 1aP1aCe逆变换;(3) 1叩IaCe变换的性质及应用。难点：(1)求函数的1aP1aCe变换及逆变换；(2)用1aPIaCe变换解常系数线性微分方程及方程组。3 .教学内容(1) 1aP1aCe变换的概念；(2) 1aPIaCe变换的性质及卷积；(3) 1aPIaCe逆变换；(4) 1aP1aCe变换的应用。4 .教学方法讲授、PB1、讨论、自学5 .教学评价回答问题：(1)叙述1ap1ace变换的概念及与Fourier变换的联系与区别，叙述1ap1ace变换及其逆变换的概念，叙述1aP