模型16 三角形内外角平分线的交角.docx

《模型16 三角形内外角平分线的交角.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模型16 三角形内外角平分线的交角.docx（24页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、专题16三角形内外角平分线的交角一、填空题1.如图在ABC中，BO,Co分别平分NABC,ZACB,交于0,CE为外角NACD的平分线，交BO的延长线于点E,记NBAC=N1,ZBEC=Z2,则以下结论N1=2N2，乙BOC=3dZBOC=90o+Z1,N8OC=900+N2,正确的是.(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到N1=2N2,ZBOC=90o-Z1,ZBOC=90oZ2,2再分析判断.【详解】.CE为外角NACD的平分线，BE平分NABC,/.ZDCE=-NACD,ZDBE=ZABC,22又YNDCE是BCE的外角，Z2=

2、ZDCE-ZDBe=(ZACd-ZABC)=Z1,22故正确；VBO,CO分别平分NABC,ZACB,/.ZOBC=-ABC,ZOCB=-ZACB,22ZBOC=180o-(ZOBC+ZOCB)=180-(ZABCZACB)2=180-(180o-Z1)2=90+Z1,2故、错误：YOC平分NACB,CE平分/ACD,JZACO=ZACB,ZACE=ZACD,22ZOCE=(ZACB+ZACD)=180o=90o,22/80(2是4COE的外角，ZBOC=ZOCE+Z2=90+Z2,故正确；故答案为：.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以

3、及角平分线的定义.2 .如图，在448C中，/A=70。，如果NABC与NACB的平分线交于点O,那么N30C=度.【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出NABC+NACB的度数，进而可求NOBC+NDCB的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案.【详解】ZA=70o，:.ZABC+ZACB=180-ZA=11Oo.TBD平分NABC,CD平分NACA,.ZDBC+NDCB=(ZBC+ZACB)=55,./BDC=180o-(ZDBC+ZDCB)=125.故答案为：125.【点睛】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键.3

4、 .(2018育才单元考)如图，在AABC中，NABC和NAC。的角平分线交于点A-得44,ZAIBC和NACD的角平分线交于点A2,得NA?,4小BC和NA的角平分线交于点A“，得NAfJ(1)若ZA=80。，则NA=,4=,NA=(2)若NA=?,贝IJNA2oi5=.【分析】(I)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证NAi=1NA,进而可求NA,同理易证NA2=1A,22NA3=1A2,进而可求NA2和NA3；2(2)利用角分线的定义和三角形外角性质，易证NAk1/A,进而可求NA”同理易证NAz=INA,22ZA3=-ZA2,以此类推可知NA2015即可求得.2【详解】解：(1)V

5、ZA=ZACD-ZABC,ZAi=ZAiCD-ZAiBCNABC和NAe。的角平分线交于点ANA=80。ZACD=-ZACD,ZABC=-ZABC22/.ZAi=ZAiCD-ZAiBC1 1=-ZACDZABC2=(ZACd-ZABC)1二一NA2=40同理可证：ZAi=-ZAi=20o,ZAj=-ZAz=IOo22故答案为：40；20；10.(2)VZA=ZACD-ZABC,ZAi=ZAiCD-ZAiBCZABC和NACO的角平分线交于点A,ZA=mo11：ZA1CD=-ZACD,ZABC=-ZABC22：,NAI=NAICD-NA1BC1 1=-ZACD-ZABC2 2=-(ZACd-ZA

6、BC)21=-ZA2同理可证:1(m)ZA3=-ZA2=J故答案为：用J【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出A=!NA,并依此找出规律.24.如图，在AABC中，ZA=60o,BD、CD分别平分NABC、ZACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,BF、CF分别平分NEBC、ZECQ,则NF=.【答案】15。【分析】先由BD、CD分别平分NABC、NACB得至IJNDBo1/ABC,ZDCB=-ZACB,在AABC中根据三角22形内角和定理得NDBC+NDCB=(ZABC+ZACB)=(I800-ZA)=60。，则根

7、据平角定理得到22ZMBC+ZNCB=300o;再由BE、CE分别平分NMBC、NBCN得N5+N6=上NMBCZ1=-ZNCB,两22式相加得到N5+N6+N1=g(/NCB+NNCB)=150。,在乙BCE中，根据三角形内角和定理可计算出NE=30。；2再由BF、CF分别平分/EBC、NECQ得到N5=N6,Z2=Z3+Z4,根据三角形外角性质得到3+N4=5+F,2+N3+4=5+N6+E,利用等量代换得至JN2=5+NF,2Z2=2Z5+ZE,再进行等量代换可得到NF=TZE.【详解】解：VBD.CD分别平分NABC、ZACB,ZA=60o,ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

8、22；NDBC+/DCB=1(ZABC+ZACB)=(180o-ZA)=(180o-60o)=60,222：,ZMBC+ZNCB=360o-60o=300o,BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,Z5+Z6=-ZMBC,Z1=-ZNCB,22Z5+Z6+Z1=-(ZNCB+ZNCB)=I5O,2ZE=180o-(Z5+Z6+Z1)=180o-150o=30o,；BF、CF分别平分NEBC、ZECQ,Z5=Z6,Z2=Z3+Z4,VZ3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,即N2=N5+NF,2Z2=2Z5+ZE,2ZF=ZE,：ZF=-ZE=-30o=15o.22故答案为：1

9、5。.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180。.也考查了三角形外角性质.二、解答题5.(1)如图1所示，BD,CD分别是ABC的内角NABC,NACB的平分线，试说明：ZD=90+-ZA.2(2)探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：如图2所示，BD,CD分别是AABC两个外角NEBC和NFCB的平分线，试探究NA与ND之间的等量关系；如图3所示，BD,CD分别是ABC一个内角/ABC和一个外角NACE的平分线，试探究NA与ND之间的等量关系.【答案】(1)证明见解析；(2)NA=180。-2ND,理由见解析；NA=2ND,理由见解析【分析】(1)首先利

10、用角平分线性质得出NDBogNABC,ZDCB=ZACB,再利用三角形内角和定理得出22A+NABC+NACB=I8O。以及DBC+NDCB+D=18()o,据此进一步加以变形求证即可；(2)首先理由角平分线性质得出NEBC=2NDBC,ZFCB=2ZDCB,然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出NA-2(NDBC+NDCB)=180。，据此进一步加以分析证明即可；利用三角形外角性质可知NDCE=NDBC+ND,然后再利用角平分线性质得出2NDBC=NABC,2ZDCE=ZACE,最后再结合NA+NABC=NACE进一步证明即可.【详解】(1)VBD,CD分别是NABC,NACB的平分线，Z

11、DBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,22.ZA+ZABC+ZACB=180,：ZABC+ZACB=180o-ZA,又VNDBC+NDCB+ND=180,：ZD=180o-(ZDBC+ZDCB)=180o-g(ZABC+ZACB)=180-(180o-ZA)2=180o-900+-ZA2=90+ZA,2即：ZD=900+-ZA；2(2)NA=I80-2ND,理由如下：VBD,CD分别是NEBC和NFCB的平分线，ZEBC=2ZDBC,ZFCB=2ZDCB,VZA+ZABC+ZACB=180o,ZABC=I80o-(NA+/ACB)=180o-2ZDBC,ZACB=I80o-(ZA+ZABC

12、)=180o-2ZDCB,：.ZA+180o-2ZDBC+180o-2ZDCB=I80,：.ZA-2(ZDBC+ZDCB)=-180,又VZDBC+ZDCB+ZD=180,ZDBC+ZDCB=180o-ZD,：NA-2(NDBC+NDCB)=NA-2(180。-ND)=T80,即：ZA-360o+2ZD=-80o,2ZD=180o-ZA,即：ZA=180o-2ZD;NA=2ND,理由如下：VZDCE是ABC的一个外角，ZDCE=ZDBC+ZD,VBD,CD分别是NABC和NACE的平分线，2ZDBC=ZABC,2ZDCE=ZACE,VZA+ZABC=ZACE,：,ZA+2ZDBC=2ZDCE,

13、ZA+2ZDBC=2ZDBC+2ZD,ZA=2ZD.【点睹】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.6.在ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称ABC为n倍角三角形.例如，在AABC中，ZA=80o,ZB=75o,ZC=250,可知NB=3NC,所以ABC为3倍角三角形.（1）在AABC中，ZA=80o,ZB=60o,则ABC为倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为,请直接写出的取值范围为.（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动（点A不与点

14、O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）.延长BA至G,已知NBA0、NoAG的角平分线与NBoQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,若AAEF为4倍角三角形，求NABO的度数.【答案】（1）2；（2）o30o;（3）45或36【分析】（1）由/A=80。，ZB=60o,可求NC的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）ADEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明/EAF=90。，分两种情形分别求出即可.【详解】解：（1）VZA=80o,ZB=60o,ZC=180o-ZA-ZB=40,ZA=2ZC,ABC为2倍角三角形，故答案为：2：(2) 最小内角为明3倍角为3,由题意可得：390o,K180o-4a90o,最小内角的取值范围是VaV3(T.故答案为VaV30。.(3) .AE平分NBAO,AF平分NAOG,ZEAB=ZEao,ZOAF=ZFAg,ZEAF=ZEAO+ZOAF=(ZBAO+ZOAG)=90,2,EAF是4倍角三角形，1 TJ,NE=-x90或一x90。